“边边角”与三角形全等的关系

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“边边角”与三角形全等的关系

（适用于8年级人教版第4或5期）



重庆第二外国语学校 周斌



(邮编400065 电话 )



我们知道，通过作图操作和理论推导，判定两个三角形全等主要有“SSS” “SAS” “AAS” “ASA” “HL”这几种方法。我们也知道，对于两边及其中一边的对角分别对应相等（不妨简称为“边边角”）的两个三角形，我们不能判定它们是否全等。那么满足“边边角”的两个三角形是否会全等呢下面我们就来探究这个问题。

(一)如果“边边角”中的“角”是直角，如图1所示，

在△ABC和△ABC中，BB90，ABAB,ACAC,

B

C

B'

C'

A

A'



根据“HL”可以判定这两个直角三角形全等，即△ABC≌△ABC

（二）如果“边边角”中的“角”是钝角，如图2所示，

在△ABC和△ABC中，BB＞90，ABAB,ACAC

A

图1

A'

过A作AHBC于H,过A作AHBC于H,

在△ABH和△ABH中，ABHABH，HH90



ABAB, △ABH≌△ABH，AHAH,△AHC≌△AHC,CC,△ABC≌△ABC

HB

C

H'B'

C'





（三）如果“边边角”中的“角”是锐角，即在△ABC和△ABC中，

BB＜90，ABAB,ACAC

图2

AA'

1.如图3-1所示，过A作AH⊥BC于H, A作AH⊥BC于H, 如果AC=AH, ACAH,很显然H与C重合，H与C重合 ∴△ABC≌△ABC

B

C（H）

B'

C'（H'）



图3-1

2.如图3-2所示，已知△ABC,过A作AH⊥BC于H,如果AH＜AC＜AB,作B,在B的一边上取

ABAB,以A′为圆心，以AC的长为半径画弧与∠B′的另一边相交， ，由此我们很容易知道△ABH≌△ABH, 显然有两个交点C1和C2

∴AH=AH，∴△AHC≌△AHC ，∠C=∠C,

B

H

CB'

C'2



AA'

H'

C'1




，而△ABC与△ABC2不全等。 ∴△ABC≌△ABC1





3.如图3-3所示，已知△ABC, 如果AC=AB,过A作AH⊥BC于H,作∠B=∠B,在∠B的一边上取以AC的长为半径画弧与∠BAB=AB,以A为圆心，

的另一边相交，显然它们只有一个交点C.由此我们

得到∠B=∠B=∠C=∠C,又∵AB=AB=AC=AC,∴△ABC≌△ABC。



4.如图3-4所示，已知△ABC, 如果AC＞AB,过A作AH⊥BC于H, 作∠B=∠B,在∠B的一边上取AB=AB,以A为圆心， 以AC的长为半径画弧与∠B的另一边相交，显然它们 只有一个交点C.由此我们很容易知道△ABH≌△ABH, ∴AH=AH，∴△AHC≌△AHC，∴∠C=∠C, ∴△ABC≌△ABC.



B

HA

B

H

C

A

图3-2

A'

B'H'C'



图3-3

A'

CB'H'

C'



图3-4

通过以上的分析我们知道，对于两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形，即“边边角”型的两个三角形是否全等，我们可以根据“边边角”中的“角”大小分两种情况进行判定： (1) 当“边边角”中的“角”为直角或钝角时，两个三角形一定全等。 ．．．．．

(2) 当“边边角”中的“角”为锐角时，我们不妨把这两个三角形两组对应相等的边称为此锐角的．．．．对边和邻边，把其余的一条边称为第三边。这两个三角形是否全等可以根据它们的第三边的高与它．．．．．．．们对应相等的两组边的大小关系来决定，只有当此锐角所对的边小于它的邻边且大于第三边的高，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．如图3-2所示，这时的两个三角形才不一定全等，其余情况下它们都一定会全等。

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