【教学随笔】例谈三角函数中的最值问题

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例谈三角函数中的最值问题



三角函数的最值问题，其实质上是对含有三角函数的复合函数的求值，是三角函数基础知识的综合应用。近几年高考题中，此类问题及经常出现，其解法主要是通过三角函数恒等变形，将函数关系式化为一个角的一种函数形式，然后借助于三角函数性质来解决。下面就其类型与解法举例说明。

1 y=asinx + bcosx+c型

2

例1 已知函数f(x)=2asinx-2asinx·cosx+a+b(a0)的定义域为 [0， ] ，值域为[-5，1]，求常数a、b的值。

解：f(x)=a(1-cos2x)-asin2x)+2a+b =-a(cos2x+sin2x)+2a+b =-2asin(2x+ )+2a+b. x[0,],2x+[,]. -sin(2x+)1.

因此，由f(x)的值域为[-5，1]可得 , 或 或

点评：本题将函数化为一个角的一种函数的形式。本题通过降次，逆用二倍角公式后，形成了y=asinx+bcosx+c型的函数，再应用函数的有界性求解。

2

2 .y=asinx+bsinx+c型

例3求函数f(x)= 2-4asinx-cos2x的最大值和最小值。

2222

解：y=f(x)=2-4asinx-(1-2sinx)=2sinx-4asinx+1=2(sinx-a)+1-2a.

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设sinx=t,则-1t1,并且y=g(t)=2(t-a)+1-2a. (1)当a<-1时，有ymax=g(1)=3-4a,ymin=g(-1)=3+4a.

2

(2)当-1a1时,有ymin=g(a)=1-2a,ymax为g(-1)和g(1)中的较大者,即ymax=3-4a (-1a0),

(3)当a>1时,有ymax=g(-1)=3+4a,ymin=g(1)=3-4a.

本题可以化为以sinx为自变量的二次函数，定义域为[-1,1],利用二次函数在闭曲间上的最值求法。对于正弦函数、余弦函数的有界性，应引起充分的重视。

3. y=asinx+b型

2

例1． 已知f(x)=sin(2x+)-sinx+sinxcosx+求f(x)的最小值及此时x的值。 解：f(x)=sin(2x+)-(1-cos2x)+ sin2x+ = sin(2x+)+sin2x+cos2x

=sin(2x+)+sin(2x+)=2sin(2x+). 当x=k- (kZ) 时,f(x)的最小值-2.

点评：化为一个角三角函数形式，再利用有界性求解。 4．（xR）型

例4．求函数的最大值与最小值。

方法一：去分母，原式化为sinx-ycosx=2-2y, 即sin(x-)=,故1 解得y,ymax=,ymin=

方法二：将函数问题可转化为求两点A(2,2)和B(cosx,sinx )间连线斜率的范围。


而点（cosx,sinx）的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆。通过点(2,2)的直线方程为y-2=k(x-2), 即kx-y+2(1-k)=0.原点到此直线的距离应为1.

故=1,即得k=,ymax=,ymin=.

点评：法一是利用三角函数的有界性；法二是数形结合法，将y 看成是两点连线的斜率；学习中应重视数形结合法处理最值的问题。

5.综合型

例5：当0时，函数f(x)=的最小值为（ ） A.2 B.2 C. 4 D. 4 解法一：f(x)= ==4 （“=”cosx=2sinxtanx=）故选C 解法二：f(x)= =, /

f(x)==0对0成立，故cos2x=，sin2x=时,f(x)min= =4.故选C.

点评：法一利用倍角公式及均值不等式求解；法二利用倍角公式及求导方法求解。 例6:若函数的最大值为2，试确定常数a的值。 解：

其中角满足， 解之得，.

点评：本题利用了三角函数公式恒等变形的技能和运算能力，达到了求三角函数最值的目的。

在解答有关三角函数最值问题的题目时，应注意正弦、余弦的有界性及函数的定义域对值域的影响；注意利用二次函数闭区间内的最大值、最小值的方法，以及利用重要不等式或求导的方法来求解。

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