微分拓扑学

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微分拓扑学

学科影响

连续性与离散性这对矛盾在自然现象与社会现象中普遍存在着，数学也可以粗略地分为连续性的与离散性的两大门类。拓扑学对于连续性数学自然是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推进作用。例如，拓扑学的基本内容已经成为现代数学工作者的常识。拓扑学的重要性，体现在它与其他数学分支、其他学科的相互作用。拓扑学在泛函分析、实分析、群论、微分几何、微分方程其他许多数学分支中都有广泛的应用。 微分几何

拓扑学与微分几何学有着血缘关系，它们在不同的层次上研究流形的性质。为了研究黎曼流形上的测地线，h.摩尔斯在20世纪20年代建立了非退化临界点理论（摩尔斯理论），把流形上光滑函数的临界点的指数与流形本身的贝蒂数联系起来，并发展成大范围变分法。莫尔斯理论后来又用于拓扑学中，证明了典型群的同伦群的博特周期性定理，并启示了处理微分流形的剜补术。微分流形、纤维丛、示性类给e·嘉当的整体微分几何学提供了合适的理论框架，也从中获取了强大的动力和丰富的课题。

陈省身在40年代引入了“陈示性类”，就不但对微分几何学影响深刻，对拓扑学也十分关键。纤维丛理论和联络论一起为理论物理学中杨－米尔斯规范场理论提供更多了非常简单的数学框架， 有如20世纪初黎曼几何学对于a.爱因斯坦广义相对论的促进作用。规范场的研究又推动了四维的微分拓扑学出人意料的进展。 分析学

拓扑学对于分析研习的现代发展起至了很大的促进促进作用。随着科学技术的发展，须要研究各式各样的非线性现象，分析研习更多地迁怒于拓扑学。必须反问一个结若想找出（即为若想变小构成折叠的圆圈），30年代j.勒雷和j.p.绍德尔把l.e.j.布劳威尔的不动点定理和映射度理论推展至巴拿赫空间构成了流形度理论。后者以及前述的临界点理论，都已沦为研究非线性略偏微分方程的标准的工具。微分拓扑研习的进步，推动了分析学向流形上的分析学(又称小范围分析学)发展。

在托姆的影响下，然后随意扭曲，微分映射的结构稳定性理论和奇点理论已发展成为重要的分支学科。s.斯梅尔在60年代初开始的微分动力系统的理论。就是流形上的常微分方程论。f.阿蒂亚等人60年代初创立了微分流形上的椭圆型算子理论。著名的阿蒂亚-辛格指标定理把算子的解析指标与流形的示性类联系起来，是分析学与拓扑学结合的范例。现代泛函分析的算子代数已与k理论、指标理论、叶状结构密切相关。在多复变函数论方面，来自代数拓扑的层论已经成为基本工具。 抽象代数


拓扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展，并且形成了两个新的代数学分支：同调代数与代数k理论。代数几何学从50年代以来已经完全改观。托姆的配边理论直接促使代数簇的黎曼－罗赫定理的产生，后者又促使拓扑k 理论的产生。现代代数几何学已完全使用上同调的语言，代数数论与代数群也在此基础上取得许多重大成果，例如有关不定方程整数解数目估计的韦伊猜想和莫德尔猜想的证明。

范畴与函子的观念，就是在归纳代数流形的方法论时构成的。范畴学说已深入细致数学基础、代数几何学等分支，对拓扑学本身也存有影响。例如流形斯的观念大大拓广了经典的流形空间观念。 经济学

在经济学方面，冯·诺伊曼首先把不动点定理用以证明平衡的存有性。在现代数理经济学中，对于经济的数学模型，平衡的存有性、性质、排序等显然问题都有赖于代数拓扑学、微分拓扑学、小范围分析的工具。在系统理论、对策论、规划论、网络学说中拓扑学也都存有关键应用领域。 其他学科

托姆以微分拓扑研习中微分态射的奇点理论为基础创办了变异理论，为从质变至量变的转变提供更多各种数学模式。在物理学、化学、生物学、语言学等方面尚无不少应用领域。除了通过各数学分支的间接的影响外，拓扑学的概念和方法对物理学（例如液晶结构瑕疵的分类）、化学（例如分子的流形构形）、生物学(如dna的环绕着、流形异构酶)都存有轻易的应用领域。

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