小升初典型奥数题之自动扶梯问题

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自动扶梯

1.1扶梯问题



1.1.1 题型说明

扶梯问题类似流水行船问题，只不过扶梯问题中的距离一般表示为扶梯的级数，速度也是用级数/时间来表示，其实质是完全一样的。

1.1.2 基本公式

走过的总级数=行走速度×行走时间

同向：走过的总级数=静止时能看到的级数-扶梯运动缩进的级数 逆向：走过的总级数=静止时能看到的级数+扶梯运动伸长的级数

1.1.3 学习要领

完全搞懂上面上个公式，知道人走过的级数跟扶梯的运动与否和速度无关，就是人的速度乘以行走的时间；

搞清楚人走过的级数等于扶梯静止时的级数加上因为扶梯运动而伸长或缩短的级数，而扶梯伸长或缩短的级数等于扶梯速度乘以行走时间；

1.1.4 例题讲解

例题1： 小明沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，他走了150级，他的同学小刚沿着自动扶梯从底向上走到顶，走了75级，如果小明行走的速度是小刚的3倍，那么可以看到的自动扶梯的级数是多少？（120级）

【解析】小明走过的级数是小刚走过的级数的2倍，同时小明速度又是小刚的3倍，可以得到小明与小刚走的时间比2：3，因此小明走的级数实际上是静止的级数加上行走时间内扶梯伸出的级数，小刚行走的级数是静止级数减去行走时间内扶梯缩进的级数，那么他们走过的级数差就是扶梯伸出级数与缩进级数的和150-75=75，伸出时间和缩进时间比是2：3，那么伸出和缩进级数比就是2：3，因此伸出级数为75÷（2+3）×2=30，静止时就应该是150-30=120。



例题2： 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时有多少级？（100级）

【解析】男孩40秒内共走80级，女孩50秒内共走50÷2×3=75级，男孩和女孩走过的级数差是由于在行走过程中，扶梯因自身速度不断缩短导致的，因为扶梯速度不变，因此缩短的级数差就是因为时间不同所导致的，（80-75）÷（50-40）=0.5就是扶梯速度，80+0.5×40=100。


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例题3： 某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲乙二人都急于上楼办事,因此在扶梯的同时匀速登梯,甲登了55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍(单位时间乙登梯级数是甲的2倍)，他登了60级后到达楼上，求自动扶梯的级数？（66级）

【解析】乙与甲的时间比为60/2：55/1=30：55，甲与乙走过的级数差5级，是由于扶梯自动运行的时间差导致的，时间差为25个单位，那么5个时间单位扶梯自动缩进1级，30个时间单位缩进6级，那么级数为60+6=66，或者55+55÷5=66。



1.1.5 专题练习

练习1： 哥哥沿着向上移动的扶梯从顶向下走到底，共走了100级。在相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了50级.如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？（75）

【分析】行走级数为2：1，行走速度为2：1，那么行走时间就正好相等，因此扶梯运动时间也相等，哥哥走的级数比妹妹多，是因为扶梯运动伸长和缩短而导致的，因此伸长和缩短的级数相同为（100-50）÷2=25，因此静止时的级数为100-25=75。



练习2： 某商场有一自动扶梯，某顾客沿开动(上行)的自动扶梯走上楼时，数得走了16级；当他以同样的速度(相对电梯)沿开动(上行)的自动扶梯走下楼时，数得走了48级，则该自动扶梯级数为？（24）

【分析】根据该顾客速度相同可得出，他上下的时间比为48：16=3：1，上下的级数差是因为自动扶梯运行的时间差导致的，4个时间单位的时间相差48-16=32，一个时间单位差8级，级数为16+8=24。



练习3： 甲、乙两人在匀速上升的自动扶梯从底部向顶部行走，甲每分钟走扶梯的级数是乙的2倍；当甲走了36级到达顶部，而乙则走了24级到顶部。那么，自动扶梯有多少级露在外面？（72）

【分析】根据甲是乙的速度两倍可得出，甲乙的时间比为36/2：24/1=3：4，上下的级数差是因为自动扶梯运行的时间差导致的，1个时间单位的时间相差36-24=12，级数为36+3×12=72。

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