拓扑学(科) 教学大纲

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拓扑学（科）

一、课程说明

课程编号：130925Z10

课程名称（中/英文）拓扑学（科）/Topology： 课程类别：专业核心课 学时/学分：80学时/5学分

先修课程：数学分析、高等代数 适用专业：数学科学班 教材、教学参考书：

《TOPOLOGY》, James. Munkres, Prentice Hall, 2000； 《点集拓扑讲义》，熊金城编，高等教育出版社，2003年12月，第三版； 《点集拓扑学》，徐森林等，高等教育出版社，2007。 二、课程设置的目的意义

拓扑学是对连续性的最一般研究，与近代数学的许多分支有密切的内在联系。本课程介绍一般拓扑学的基础知识，包括基本概念、基本理论与基本方法。拓扑学对于培养学生的抽象思维能力，提高分析问题和解决问题的能力，为进一步掌握和奠定近代数学的一些基础知识，都是不可缺少的一门课程。 三、课程的基本要求

知识：掌握点集拓扑学中拓扑空间与连续映射等最基本概念；掌握各种拓扑不变性质，包括分离性、可数性、连通性和紧致性。掌握与上述基本概念和重要性质相关的大量具体实例，包括正面的典型例子与能澄清概念的有用反例。

能力：拓扑学是几何学的一个分支，要求学生对拓扑学中的基本概念与定理具有一定的几何想象能力；拓扑学的许多概念、理论和方法在数学的其他分支（主要是分析分支与几何分支）有着广泛应用，要求学生具有能将抽象的拓扑学内容应用于解决具体的分析学与几何学问题的能力。

素质：通过课程学习中的分析、讨论与辩论，培养学生的分析沟通交流素质；培养学生利用形象思维与抽象思维相结合的方法去分析问题与解决问题的素质；培养学生严谨的思维习惯。

四、教学内容、重点难点及教学设计

（一）课程的基本内容 1．集合论的有关知识 集合的基本概念；集合的基本运算；关系；等价关系；映射；集族及其运算；可数集，不可数集，基数；选择公理

2．拓扑空间及连续映射

1




拓扑，拓扑基，拓扑子基，拓扑空间，序拓扑；邻域与邻域系；极限点，闭集，闭包；内部，边界；连续映射；网，网的收敛；拓扑空间与连续映射；度量空间与连续映射

3．拓扑不变性质，包括分离性、可数性、连通性与紧致性

连通空间；连通性的某些简单应用；连通分支；局部连通空间；道路连通空间；第一与第二可数性公理；可分空间；T0,T1,T2，Hausdorff空间；正则，正规，T3,T4空间；完全正则性与Tychonoff空间，可度量化空间；紧致空间，紧致子集，单点紧化；紧致性与分离性；欧氏空间的紧致集，度量空间的紧致集；几种紧致性及相互关系。

（二）教学的重点与难点

重点：拓扑空间中的各种概念，如导集，闭集，闭包，内部，边界，基与子基，网与网的收敛；序拓扑；各种拓扑空间的各种拓扑不变性，如分离性，可数性，连通性与紧致性。

难点：拓扑学中的各种反例；序拓扑；多种拓扑空间的拓扑不变量。

章节

教学内容 关系与映射，集族及其运算，集合的基数，可数集与不可数集，选择公理 拓扑，拓扑空间，序拓扑，乘积拓扑，子空间拓扑，极限点与闭集，连续映射，由度量诱导的 拓扑 连通空间，直线的连通子空间，连通分支与局部连通 紧致空间，直线的紧致子空间，极限点紧致空间，网，网的收敛，Tychonoff定

理 第一可数公理，第二可数

公理 分离公理，正规空间，Urysohn引理，Urysohn度量

总学时

学时分配 讲课 实(含研讨) 践

教学重点

教学难点

教学方案设计（含教学方法、教学手

段）

第1章 10 8 2

集合的基

集合的基数

数

板书，理论推导

第2章 18 14



拓扑，序拓

序拓扑，乘

4 扑，乘积拓

积拓扑

扑，连续映射 连通分支

连通空间，2 与局部连

连通分支

通 紧致空间，

极限点紧致网，网的收4 空间，网，敛，各种紧各种紧致性致性比较 比较 0 可数公理

可数公理

板书，理论推导

第3章 10 8 板书，理论推导

第4章 18 14 板书，理论推导

第5章 6 6 板书，理论推导

第6章 18 14

各种分离

Urysohn引

公理，4 理，Tietze

Urysohn引

扩张定理

理，Tietze

板书，理论推导

2

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