浅谈数学思维过程的辩证性

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浅谈数学思维过程的辩证性

作者：汪海红

来源：《教师·理论研究》2008年第07期

摘 要：在数学教学中，我们必须注重学生的数学思维过程。本文拟从数学思维的辩证本质、数学思维的辩证性来自心理过程的辩证性、形式逻辑和辩证逻辑、运动变化与静止守恒4个方面来讨论数学思维过程的辩证性。 关键词：数学思维；数学教育；辩证性

许多数学教育家或数学家，在阐述其学习数学的经验时，都强调通过自己的思维来学习。数学教育使学生进行数学式的思考。如果学生不通过自己的思维来学数学，就会觉得数学像无法把握的风筝，要改变数学教学的这种状况，研究数学思维过程是十分必要的。

一、数学思维的辩证本质

在数学中必须注重学生的数学思维过程，把数学思维仅仅理解为形式逻辑，是没有看到它所具有的辩证逻辑的本质的表现。学生通过思维由不知到知的实际过程远比我们设想的复杂得多，一个由一位特级教师执教的实验说明了这一点。受试学生刚刚学过三角形的外角定理，了解了三角形的外角大于与之不相邻的内角的定理和关于它的证明。但当老师对学生提出问题：“如图（1）对吗？”全体学生都答道：“对！”“如果点D沿着AD方向前进50米，A不变，（1）却小了。那么，（1）仍然大于A吗？”“大于！”声音明显地小了。“如果点D沿着AD方向前进1000米，（1）仍然大于A吗？”学生中没有人回答。这说明，尽管学生通过学习，对三角形外角定理已有了一定的认识，但这种认识是呈一定的深浅度的，有的深些，有的浅些。在上述过程中，有的学生很快就被“淘汰”了，有的学生直到最后才被“淘汰”。这启示我们：在人的头脑中，对一个已证明的概念的认识，仍然存在着知与不知的矛盾运动，从而体现了认识过程的辩证性。

二、数学思维的辩证性来自心理过程的辩证性


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数学学习的认识过程中，学生首先要把所学的知识同脑海中的知识联系起来，进行类比、比较、辨析，使新的知识纳入原有的知识架构。这就产生了联系的正确与否、紧密与否、合理与否等问题。另一方面，人对知识的获得或运用，还受到人所处的知识环境的支配和影响。依据实际教学过程的经验，我们知道，某种心理的强烈将引起其他内容的抑制，而且这种心理越强烈，引起的抑制也就越大。由此看来，对学习者来说，即便是对简单的数学问题的认识，也存在一个不断克服认知矛盾的问题。因此，他的思维过程不是一次性完成的，而是充满运动、变化、相对等辩证性质的。

三、形式逻辑和辩证逻辑

就整个人类思维过程而言，所遵循的不仅是形式逻辑，还有最基本的辩证逻辑。它反映了概念、判断、推理等的灵活性，可变性和辩证矛盾性。形式逻辑只承认既得的概念、判断和推理的方式，而不关注判断和推理是否符合逻辑规则。辩证逻辑把概念、推理判断都看作是一种运动着的东西，同时，辩证逻辑并不否认事物的相对稳定性，而是认为稳定是相对的，变化是绝对的。

正由于辩证逻辑客观地反映了科学认识的过程。所以，在教学中采用形式逻辑和辩证逻辑相统一的原则是非常自然的，学生在认识一个概念时，并不是一开头就得到了课本的定格了的定义，而是由局部到整体、从表面到实质。当学生学了课本规定的定义时，认知过程并没有完结，头脑中的概念还要通过前后联系、正反对比、横向结合，才能逐步趋于完整、深刻；而且旧概念建立了，新矛盾又出现了，这就导致了对数学认识的发展。

四、运动变化与静止守恒

数学刻画了运动中的不变性。例如，我们说凸四边形的内角和是360°，其实是说，不论四边形的形状大小如何，都具有这样的性质，同时也就反映了千变万化的客观现实的本质和规律。如果离开变化，去孤立静止地教和学，就违背了数学思维的辩证性，就会脱离学生的认识实际和数学学习的规律。例如，在“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的法则教学中，教师没有给学生充分的、具体的、同底的幂相除的感性认识，就急于让学生接受抽象的法则，并运用它来做许多题目，其结果是学生并没有真正接受，出现思维受阻的现象。


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把握了静止和变化的辩证关系，就会自觉地在教学中运用“动”来学习“静”， 使静态的定理、公式、法则具有动的生命，在学生的思维中活跃起来。此外，还可以使学习者的思维具有批判性，不断追求完美。

总之，数学不是作为一种教条，让学生死记硬背就行了；数学也不是作为一项技能，让学生反复练习就可以了。归根结底，数学教育应该提高人的思维能力。事实上，数学是一种思维方式，这种思维方式的训练对于智力发展是必不可少的。教师要让学生在数学教学中受到良好的思维训练，就要减少他们学习的困难，并激发他们的学习兴趣，加强数学思维。

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