数学定理【圆,三角形】

【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《数学定理【圆,三角形】》，欢迎阅读！

数学定理【圆，三角形】

1． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角

形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．

2． 拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE

＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1 、⊙A1 、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1 、⊙A1 、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2 、⊙A2 、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2 、⊙A2 、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．

3． 九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以

及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如: （1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;

（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．

4． 欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．

5． 欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2－2Rr． 6． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．

7． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；G(xAxBxC,yAyByC)

33

重心性质：（1）设G为△ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，则AG:GD2:1；

（2）设G为△ABC的重心，则SABG

1

SBCGSACGSABC；

3

DEFPKH2DEFPKH

;2； BCCAAB3BCCAAB

（3）设G为△ABC的重心，过G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，过G作PF∥AC交AB于P，交BC

于F，过G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，则（4）设G为△ABC的重心，则

3GA2CA23GB2AB23GC2；

1222222

②GAGBGC(ABBCCA)；

3

2222222

③PAPBPCGAGBGC3PG（P为△ABC内任意一点）；

222

④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即GAGBGC最小；

①BC

⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G为△ABC的重心）．

2

abcabc

xAxBxCyAyByC

cosBcosCcosAcosBcosC8． 垂心：三角形的三条高线的交点；H(cosA,) abcabc

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；

（2）垂心H关于△ABC的三边的对称点，均在△ABC的外接圆上；

（3）△ABC的垂心为H，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆；

（4）设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则BAOHAC,CBOABH,BCOHCA．


9． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；

I(

axAbxBcxCayAbyBcyC

,)

abcabc

内心性质：（1）设I为△ABC的内心，则I到△ABC三边的距离相等，反之亦然；

111

90A,AIC90B,AIB90C；

222

（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A平分线交△ABC

（2）设I为△ABC的内心，则BIC

外接圆于点K，I为线段AK上的点且满足KI=KB，则I为△ABC的内心； （4）设I为△ABC的内心，BCa,ACb,ABc,

A平分线交

BC于D，交△ABC外接圆于点K，则

AIAKIKbc

； 

IDKIKDa

（5）设I为△ABC的内心，BCa,ACb,ABc,I在BC,AC,AB上的射影分别为D,E,F，内切圆半径为r，

令

1

p(abc)，则①SABCpr；②AEAFpa;BDBFpb;CECDpc；③

2

abcrpAIBICI．

sin2AxAsin2BxBsin2CxCsin2AyAsin2ByBsin2CyC

,)

sin2Asin2Bsin2Csin2Asin2Bsin2C

10． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；

O(

外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；

（2）设O为△ABC的外心，则BOC2A或BOC3602A；

（3）Rabc；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．

4S

11． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC的三边BCa,ACb,ABc,令

1

p(abc)，分别与BC,AC,AB外侧相切的旁切圆圆心记为IA,IB,IC，其半径分别记为rA,rB,rC．

2

11

旁心性质：（1）BIAC90A,BIBCBICCA,（对于顶角B，C也有类似的式子）；

22

1

（2）IAIBIC(AC)；

2

（3）设

AIA的连线交△ABC的外接圆于D，则DIADBDC（对于BIB,CIC有同样的结论）；

（4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圆半径R'等于△ABC的直径为2R． 12． 三角形面积公式：SABC



11abca2b2c2

ahaabsinC2R2sinAsinBsinC

224R4(cotAcotBcotC)

1

2

R为外接圆半径，其中ha表示BC边上的高， r为内切圆半径，p(abc)．prp(pa)(pb)(pc)，

13． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：

r4Rsin

ABCABCABCABC

sinsin;ra4Rsincoscos,rb4Rcossincos,rc4Rcoscossin;222222222222

本文来源：https://www.dy1993.cn/PLIK.html