平移旋转和轴对称的秘密

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平移、旋转与轴对称的秘密



平移、旋转和轴对称都是平面图形的基本变换.他们之间存在着许多有意思的秘密,这秘密究竟是什么呢?

在一次关于图形变换的考试中,记得有这样一题：

如右图,请说出甲树是怎样由乙树变换得到的____________________.

90°

60°



许多同学都写出了错误的答案：乙向右平移AB的距离，带绕点A顺时针旋转30°等到甲。为什么会造成这种错误呢？首先，同学们没有仔细观察这个两棵树的特征或不明白平移、旋转和轴对称的意义。

那么平移、旋转与轴对称变换有什么关系呢？就让我们一起去探究这个秘密吧！ 一、平移变换转化为轴对称变换

如下图，已知△ABC，直线l∥k且距离为a，画△ABC关于直线m对称的△A′B′C′，再画△A′B′C′关于直线n对称的△A″B″C″。



l

A

C

C'

k

A''

C''

A



A'

B

B'

B''




那么△A″B″C″能否看成△ABC平移得到的呢？

事实证明这是可以的，即△ABC沿对称轴l（k）垂直方向平移2a个单位即可得到 △A″B″C″。

由此我们就可以得出一般结论：当对称轴平行时，两次轴对称相当于一次平移，且平移的方向垂直于对称轴，平移的距离是两条对称轴之间的距离的2倍。 二、旋转转化为轴对称变换

如下图，已知△ABC，直线l，k相交于点O，且夹角为a（0°＜a≤90°），画△ABC关于直线l对称的△A′B′C′。再画△A′B′C′，关于直线k对称的△A″B″C″。

l

A

C

C'

A'



C''

B

B'

α

k

B''

O

A''

观察图形，我们就可以发现△A″B″C″就是由△ABC绕点O顺时针旋转2a°得到的。

由此可猜想归纳一般结论：当两条对称轴相交于一点时，两次轴对称相当于一次旋转，且旋转中心为对称轴的交点，旋转角为对称轴夹角2a°，旋转方向与第一条对称轴旋转a的角度得到第二条对称轴的位置的方向一致。

数学中像这样的秘密还有很多，只是你还没有打开你智慧的窗口去感受它们，多去留意它们，你就会探索的路上收获丰硕的果实。

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