初等数论教学中如何培养学生的数学思维

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初等数论教学中如何培养学生的数学思维

摘要：数学教学就是指数学思维活动的教学，对数学思维的研究，是数学教学研究的核心。在数学教学中如何发展学生的数学思维，培养学生的数学思维能力是一个广泛而值得探讨的课题。本文主要从三个方面探讨了初等数论教学中如何培养学生的数学思维这一问题。

关键字： 初等数论；数学思维；制设新题

初等数论的研究对象是整数，可以说，它是人类最早接触的数学，从有数学教育起，在各级学校中，就有了关于数论知识的教学内容。在我国高校，尤其是在师范院校，大都有数论课程开设。它的许多知识和结论不仅是数学教育的重要内容和进行思维训练的有效工具，同时也是许多更高层次知识（如密码学）的 必要基础。高校数论课程的教学任务大致有以下三个方面：1，基础理论和研究方法的培养和训练；2，教师教学能力的的培养和训练；3，应用于其他学科的知识和能力的的培养和训练。本文主要是对初等数论课程教学中如何培养学生数学思维的探讨，我认为教师在教学中应着重从以下三个方面来培养学生的数学思维。 一、教师通过在教学中挖掘知识的内在思想来培养学生的数学思维

初等数论作为数学科学，从原名到定义，从公理到定理，一般都是演绎呈现的。它简练、严谨、纯粹，显示了数学的学术形态。虽然其知识比较零碎，但我们采用的教材在叙述各项知识时，详细的交代了来龙去脉，因而保证了各项推证在逻辑上的严密性。通过各个教学环节，逐步培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。以达到对学生数学思维的培养。

例如，在文章第二章的不定方程中，关于二元一次不定方程的解的定理：设不定方程中，，且是不定方程的个整数解，则此不定方程的全部解为这里为任意整数。此定理的证明分两部分，一方面是证明全部解是方程的解，另一方面证明不定方程的任意一个解都可以化为全部解的形式。学生通过这种证明思想就能培养学生较强的逻辑思维能力。这样的例子还很多，我认为在教学中挖掘知识的内在思想是培养学生数学思维的好方法。

二、教师在学生解题训练中培养学生的数学思维

数学题是数学教学内容的重要组成部分, 教师用这些题目去加深学生对所

学知识的了解、掌握和运用, 也用它们衡量学生对知识掌握的程度, 检验教学效果。解题过程包括弄清问题、寻求解题思路、写出解题过程、解答回顾等四个重要环节，第一个环节是解题的起始，第四个环节是解题的归宿和升华；这四个环节对于培养学生数学思维的严谨性、广阔性、深刻性等优良品质有着重要的意义。 例1，求最大整数，使是整数。 解：设是的一个质约数，即。 所以，必为或的约数，即

小结：检查解题过程，让学生做到每个结论有理有据，培养学生思维的严谨性。证明结束后再进行思考，抓住问题的本质，深入研究找出考察的知识点，如：若一个质数整除几个整数的乘积，则它至少整除这几个整数中的一个整数；和、差的整除性定理；两个质数中的一个整除另一个，则这两个质数相等。这种层层深入的解题回顾对思维深刻性的培养有着很重要的指导意义。


例2，设为非零整数，且，试问能否为质数？

解法一：由于，由质因数分解定理可知，存在整数使得

为整数。从而存在整数使得，且均为整数。 因为

所以 又，

因此，为合数。

小结：第一种解法用的是质因数分解定理，第二种解法用的是一般的变量替换，一题多解可以培养学生思维的广阔性和创造性。另外，一步步严谨的推理过程可以培养学生思维的严谨性。

数学学习离不开解题，但并非多多益善，对做过的题目进行回顾反思，并站在一定高度上加以审视，从中发掘题目的精髓，看透问题的本质，这是培养数学思维品质的最佳时机。教学中，只有抓住这一契机，积极引导学生从题内走向题外，进而达到较少的题量取得最佳的学习效果的理想境界。 三、教师通过让学生制设新题来培养学生的数学思维

培养未来的数学教师, 解题能力和制题能力的训练是非常必要的。制题是比解题更困难和更复杂的数学思维过程。 解题, 是在给定的条件下去求出问题的答案；而制题, 则是在设定条件的同时, 也设定要证明的结论。制题比解题需要更多的综合能力。 即，制题的过程, 是一个创造思维的过程。 结合教学培养学生的制题能力, 是师范院校教师数学教学的一个重要任务。通过培养学生的制题能力, 可以提高他们进行数学研究的能力，以培养学生好的数学思维。下面举个例子说明结合教学内容培养学生制题能力的可能性。

例3：一切大于2的质数，一定是形如或的数。

证明：正整数被4除，余数共有0，1，2，3四种可能，因此可以把正整数分成，，，(即)四类。显然，是合数，而对任意的整数，与取不到2，故大于2的质数只可能在或中出现，即它们是形如或的数。

从以上证明我们可以看到，任意的整数按被正整数除的余数分类，共有种形式，，即分别是余数为0，1，的形式。从中去掉能提公因数的数，再去掉取不到的一两个质数，则可断言其余的质数就是剩余的几种形式。例如，一切大于3的质数，不是形如就是的数. 另外，根据这种按余数对整数的分类也可断言，任意连续个整数中至少有一个整数是的倍数。进而可确定任意连续个整数中能被整数整除的正整数的个数至少或至多有几个。例如：任意连续13个整数中至多有4个整数能被4整除。

思维训练和能力构建是一个长期的过程，将以上三个方面作为切入点，必然要对“初等数论”的教与学提出较高层面要求。在课堂上，教师既要重视数学知识的演绎，又不忘数学思想方法的归纳，观察、猜想、探索与推理、证明兼顾，则对培养学生的数学眼光，帮助他们形成数学观点，提高分析问题和解决问题的能力，培养数学思维都将大有裨益。因为榜样的力量是无穷的，学生耳濡目染，日后自己踏上讲台，就会师行徒效。 参考文献：

[1]陈肇曾.数论初步[M] 高等教育出版社1996年3月第一版

[2]于秀源.注意培养学生制题能力—谈高师数学教学[J].数学教育学报,1998年5月第7卷第2期.

[3]王连笑?.世界数学奥林匹克解题大辞典（数论卷）[M].河北:河北少儿出版社,2002年05月.


[4] 郭育红,夏立华.关于小教专业开设《初等数论》课程的思考[J].甘肃:甘肃联合大学学报自然科学版,2005年19卷1期.

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