数学系第三学期数学分析期末考试题及答案

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第三学期《数学分析》期末试题

一、 选择题：（15分,每小题3分）

1、累次极限存在是重极限存在的（ ）

A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D 无关条件 2、（ ） A ； B ； C ； D。

3、函数f(x,y）在（x0，，y0)可偏导，则( D )

A f(x，y）在（x0，,y0)可微 ; B f（x,y)在（x0,,y0)连续;

C f（x,y）在（x0,，y0）在任何方向的方向导数均存在 ； D 以上全不对。 4、的二重极限和二次极限各为（ B ） A、0，0，0； B、不存在,0，0，； C、0，不存在，0； D、0，0，不存在。 5、设，则( A ）

A、0； B、1； C、—1； D、2. 二、计算题（50分，每小题10分）

1、 证明函数 在(0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微； 2、 设；

3、 设有隐函数,其中的偏导数连续，求、；

4、 计算，其中是任一条以为起点、为终点的光滑曲线; 5、 计算，其中为在的部分；

三、验证或解答（满分24分，每小题8分)

1、验证曲线积分与路线无关，并求被积表达式的原函数; 2、说明对任意均一致收敛； 3、验证函数

在原点（0，0)分别对每个自变数（另一个看作常数）都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续。

四、（11分）求由方程组确定的隐函数处的一阶导数。

部分题目参考答案：

二、1、证明:（4分)=0所以函数在(0，0）点连续，(3分）又，存在切等于0，（4分)但不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）

二、2、解

由于，所以 .

二、3、 ［解法 1］ 由隐函数、复合函数求导法

[解法 2] 利用全微分,将隐函数方程两边取全微分,得


， ，故 。

由此可见，用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径. 二、4、 解 令=，=，则 ==，故被积表达式一定有原函数，注意到=，知 = 是的一个原函数，故由定理21。13，有

= =.

二、5、解 曲面在平面上的投影区域，而，于是曲面的面积微元

所以

（在极坐标系下计算) .

三、1、解 由于所以曲线积分与路线无关. 现在求 取为沿平行于轴的直线到，再沿平行于轴的直线到，最后沿平行于轴的直线到.于是

其中是一个常数，若取为原点，则得

三、2、解 当收敛，所以关于一致收敛。而积分是定积分，所以一致收敛.

三、3、证明 ，与,即在原点（0，0）分别对都连续

当时，却有，即在原点（0，0)不连续（其实在原点（0,0）并不存在极限，当然不连续）。 四、解 方程两边对x求导有 ，代入（1)有:，所以，.

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