高数第二章导数与微分的知识点总结

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2015考研数学:导数与微分的知识点总结

来源：文都教育

导数与微分是考研数学的基础，占据至关重要的地位。基本概念、基本公式一定要掌握牢固，常规方法和做题思路要非常熟练。下面都教授给出该章的知识点总结，供广大考生参考。

第一节 导数

1．基本概念 （1）定义

f(x0x)f(x0)f(x)f(x0)dydf(x)y

|xx0(或|xx0)f'(x0)limlimlim

x0xx0x0dxdxxxx0

注：可导必连续，连续不一定可导.

注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数

f'(x0)lim

x0

f(x0x)f(x0)f(x)f(x0)

lim. xx0xxx0f(x0x)f(x0)f(x)f(x0)lim. xx0xxx0

f'(x0)lim

x0

f'(x0)存在f'(x0)f'(x0).

（3）导数的几何应用

曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程：yf(x0)f'(x0)(xx0). 法线方程：yf(x0)2．基本公式

（1）C'0 （2）(x)ax（3）(a)'alna（特例(e)'e）（4）(logax)'

x

x

x

x

a'

a1

1

(xx0). f'(x0)



1

(a0,a1) xlna

（5）(sinx)'cosx （6）(cosx)'sinx （7）(tanx)'secx （8）(cotx)'cscx （9）(secx)'secxtanx （10）(cscx)'cscxcotx （11）(arcsinx)'

2

2

11x

2

（12）(arccosx)'

11x

2



（13）(arctanx)'

11

(arccotx)' （14） 22

1x1x


（15[ln(x

x2a2)]'

1xa

2

2



3．函数的求导法则

（1）四则运算的求导法则

uu'vuv'

(uv)'u'v' (uv)'u'vuv' ()'

vv2

（2）复合函数求导法则--链式法则

设yf(u),u(x)，则yf((x))的导数为：[f((x))]'f'((x))'(x). 例5 求函数ye

sin2

1

x

的导数.

（3）反函数的求导法则

设yf(x)的反函数为xg(y)，两者均可导，且f'(x)0，则

g'(y)

11

. f'(x)f'(g(y))

（4）隐函数求导

设函数yf(x)由方程F(x,y)0所确定，求y'的方法有两种：直接求导法和公式法

Fx'

y''.

Fy

（5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数

二阶以上的导数为高阶导数. 常用的高阶求导公式： （1）(a)

x(n)

axlnna(a0) 特别地，(ex)(n)ex

(n)

（2） (sinkx)（3）(coskx)

knsin(kxn)

2kncos(kxn)

2

(1)n1

(n1)!

n

(1x)

(kn1)xkn

n



(n)



（4）[ln(1x)]

(n)

（5）(x)

k(n)

k(k1)(k2)

(n)

（6）莱布尼茨公式：(uv)

k(nk)(k)

Cnuv，其中u(0)u,v(0)v k0

第二节 微分

1．定义


背景：函数的增量yf(xx)f(x).

定义：如果函数的增量y可表示为yAxo(x)，其中A是与x无关的常数，则称函数yf(x)在点x0可微，并且称Ax为x的微分，记作dy，则dyAx. 注：ydy,xdx 2．可导与可微的关系

一元函数f(x)在点x0可微，微分为dyAx函数f(x)在x0可导，且Af'(x0). 3．微分的几何意义 4．微分的计算

（1）基本微分公式dyf'(x)dx. （2）微分运算法则 ②四则运算法则

uvduudv

d(uv)dudv duvvduudv d() 2

vv

②一阶微分形式不变

若u为自变量，yf(u),dyf'(u)uf'(u)du；

若u为中间变量，yf(u)，u(x)，dyf'(u)'(x)dxf'(u)du.

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