高中数学奥林匹克竞赛训练题(30)

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数学奥林匹克高中训练题（30）

第一试

一、选择题（本题满分36分,每小题6分）

1．(训练题37)a是由1998个9组成的1998位数,b是由1998个8组成的1998位数,则ab的各位数字之和为(C)．

(A)19980 (B)19971 (C)17982 (D)17991 2．(训练题37)已知x(0,2),则方程3ctgx8ctgx30的所有根的和为(C)．

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

3．(训练题37)已知三个正数a、b、c之和为10,如果它们之中没有一个大于其余数的2倍,那么abc的最小值是(B)．

(A)32 (B)31 (C)274．(训练题37)已知xn

2

14713 (D)7 916

1

[(23)n(23)n](nN),xn为正整数,则x19981999的个位数2

字为(B)．

(A)1 (B)2 (C)6 (D)7 5．(训练题37)已知ABC中,lgtg

ABC

,lgtg,lgtg成等差数列,则B的取值范围是(B)． 222

22

(A)0B (B)0B (C)B (D)B

63333

6．(训练题37)一只小球放入一长方形容器内,且与共点的三个面相接触,小球上有一点到这三个

面的距离分别是3cm,3cm,6cm,则这只小球的半径(D)．

(A)只为3cm (B)只为6cm (C)只为9cm (D)以上说法不对

二、填空题（本题满分54分,每小题9分）

1．(训练题37)已知1998|1999!,则正整数n的最大值为 55 ． 2．(训练题37)已知切,…,

n

O0是正ABC的内切圆,O1与O0外切且与ABC的两边相

On1与On外切且与ABC两边相切(nN)．那么,在ABC内所有这些可能的圆O0,On(nN)）的面积之和与ABC的面积之比为

2

（包括

11

． 243

2

2

3．(训练题37)P是边长为2的正ABC所在平面上的一动点,且PAPBPC16,则动点P 的轨迹为 以正ABC的中心为圆心,2为半径的圆 ．

4．(训练题37)已知方程x8y8zn(nN)有666组正整数解(x,y,z)．那么n的最大值是 304 ．

5．(训练题37)已知正四面体ABCD的六条棱的长分别为



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4cm,7cm,20cm,22cm,28cm,xcm。则[x]的最小值为 8 ．

6．(训练题37)已知对于每一个实数x和y,函数f(x)满足f(x)f(y)f(xy)xy．若

f(1)m,则满足f(n)1998的正整数对(m,n)共有 16 个．



x2xaa20

三、(训练题37)(本题满分20分)已知不等式组的整数解恰好有两个,求a

x2a1

的取值范围？（1a2）

四、(训练题37)(本题满分20分)当x为何实数时,yx2x12(x3)22(x25)2有最小值,最大值是多少？x2,1;ymin9

五、(训练题37)(本题满分20分)已知函数f(x)在R上有定义,且满足下列条件:①f(x)在R严格递减,且f(x)





112

；②在上恒有f(x)f(f(x))f3(1)． R22xx

(1)求函数值f(1)；（2）

(2)给出一个满足提设条件的函数f(x)．

第二试

一、(训练题37)(本题满分50分)已知如图,AD是锐角ABC的角平分

2

线,BAC,ADC,且coscos．求证ADBDCD．

2

A

二、(训练题37)(本题满分50分)求2

1999

的末四位数．（4688）

C B

三、(训练题37)(本题满分50分)已知n是正整数,m是正奇数,a,b是正常数,且ab1,函数

f(x,n)xax

i1

2n

1m2n1m

b．若实数s,t满足f(s,n)f(t,n1)0 求证:st．





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