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非线性二阶偏微分方程
如果一个偏微分方程中,未知函数及其所有各阶偏导数以线性形式出现,则将这个偏微分方程称为线性偏微分方程(linear partial differential equation),反之,则称为非线性偏微分方程(nonlinear partial differential equation)。
若一个非线性偏微分方程中,未知函数的所有最高阶偏导数以线性形式出现,而其系数含有该未知函数或其较低阶的偏导数,则称这样的非线性偏微分方程为拟线性偏微分方程(quasilinear partial differential equation)。
又若一个非线性略偏微分方程中,未明函数的所有最低阶偏导数以线性形式发生,且最低的阶偏导数的系数也不不含未明函数与其较低阶的偏导数,这样的非线性略偏微分方程称作半线性略偏微分方程(semilinear partial differential equation)。 偏微分方程研究各类偏微分方程的求解与解的性质。在18世纪初,微积分理论形成后不久,人们就开始结合物理问题研究偏微分方程,并逐渐形成一个独立的数学分支。最早研究的几个偏微分方程是弘振动方程、热传导方程和调和方程。随着力学、物理学的发展,连续介质力学、电磁场论、量子力学、引力理论、规范场论等方面的基本规律都被写成偏微分方程的形式。数学领域中分析学、几何学中很多基本问题也可归结为一些偏微分方程的求解。近年来,在各门自然科学、工程技术以致金融、经济、社会学等学科中又不断归结出一些新的偏微分方程,它们的研究对于相应学科的发展是十分重要的。
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