2018考研数学中求分段函数的不定积分问题

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2018考研数学中求分段函数的不定积分问题

来源：文都教育

2017考研初试已经落下帷幕，17的考生此时在为复试做准备，18的考生们，是时候开启自己的复习道路啦！文都考研数学老师认为，17年真题所考查的知识点，值得2018考研考生重点学习和记忆。今天文都考研数学老师针对2018考研数学中求分段函数的不定积分问题，为大家进行详细的解答，帮助2018年的考研学子把握复习备考的命题方向！

一、解题思路分析

求分段函数的原函数（不定积分）

先考虑函数在分段点处的连续性，如果连续，可按下述步骤求之：

（1）分别求出函数的各分段函数在相应区间内的原函数（不定积分）。 （2）因函数在分段点处连续，故在包含该分段点的区间内原函数存在。这时应根据原函数的连续性（或可导性）确定各区间上任意常数的关系，将各分段区间的原函数在分段点处连续地连接起来，将各段上的任意常数Ci统一成一个任意常数。先用分段积分法求出分段函数fx的一个原函数Fxftdt，然

ax

后写出fx的原函数fxdxFxC，其中C为任意常数。

如果分段函数在分段点不连续，且分段点为函数的第一类间断点，则在包含 该点的区间内不存在原函数。这时函数的不定积分只能在不包含该点的各个分段区间内得到。

二、例题解析

x0,1,



例1 已知fx1x2,0x1,则求fxdx.

2x3,x1,

解析：由题意得：

因fx在点x0处无定义，而f00及f00均存在，故x0为fx的第一类间断点，所以在,内fx不存在原函数，而在点x1处fx连续，故fx的不定积分只能分别在区间,00,内得到。

x0,xC1,



综上所述，fxdxx33xC2,0x1,

4

x1,x2C3,

因fx在点x1处连续，故fx的原函数在点x1处也连续。于是有

limFxlimx33xC2limFxlimx42C3,

x1

x1



x1x1



即C343C21256C2。

x0,xC1,



综上所述，fxdxx33xC2,0x1,

4

x256C2,x1,

其中C1与C2是两个独立的常数。

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