数学专业本科论文答辩稿

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数学专业本科论文答辩稿

各位老师好！我叫xxx，学号：xxx，我的论文题目是《变指数微分形式空间及其应用》。在这里，请允许我向老师的悉心指导表示深深的谢意，向各位老师不辞劳苦参加我的论文答辩表示衷心的感谢，并对四年来我有机会聆听教诲的各位老师表示由衷的敬意。

首先，我想谈谈这个毕业论文设计的目的及意义。

微分形式和外微分的概念是由着名法国数学家Cartan于1970年首先提出的，并且将其应用到微分系统和黎曼几何问题的研究。1980年De Rham利用微分形式研究了流形上矢量分析和流形上拓扑结构的一些问题。一方面，微分形式和外微分可以理解为函数的推广。一般地，n维空间的k一形式是k个简单坐标投影函数的微分算子做外积的线性组合。另一方面，微分形式也可以从余切丛的角度来理解，所谓外微分形式就是微分流形上余切丛的一个光滑截面，此时外微分被理解为作用于微分形式上的一种算子。

用外微分算子和Hodge星算子相结合可以将形式上比较复杂的微分系统方程改写成相对比较简单的形式，从而可以推动该理论快速发展。例如，经典电磁场理论中的Maxwell方程、经典动力学理论中的Hamiltonian正则方程以及热力学定律等。所以，微分形式作为促进各个领域发展不可或缺的工具，已被广泛的应用于数学以及工程技术学中。

此外，本文的主要目的是引入几类变指数微分形式空间，初步建立变指数微分形式空间理论。作为欧氏空间的'可测子集上变指数函数空间以及欧氏空间的有界凸集上和黎曼流形上常指数微分形式空间的推广，本文建立了欧氏空间的可测子集上变指数微分形式空间理论、加权变指数微分形式空间理论以及完备黎曼流形上变指数微分形式空间理论，同时作为特殊情况，也建立了完备黎曼流形上变指数函数空间理论。

其次，我想谈谈这篇论文主要内容。

本文中，将变指数函数空间的一些研究工作推广到微分形式，详细地讨论了变指数微分形式空间性质作之后，将结合经典的变分理论解决几类非线性系统弱解的存在性和唯一性问题。

第1章是绪论部分，本章分两个部分，第一部分将介绍微分形式的概念、常指数微分形式空间以及微分形式A一调和方程的常见形式和相关理论的发展状况；


第二部分首先将介绍变指数函数Lebesgue空间及Sobolev空间的基本概念及其性质，然后将简要的描述有关具有变增长性条件的非线性方程的一些经典成果。

第2章至第4章是本文的主体部分，将引入几类变指数微分形式空间，在初步的建立了空间理论后，将其应用某类于具有变指数增长性条件的非线性方程弱解的存在性和唯一性的研究中。

在第2章中，将引入变指数微分形式Lebesgue空间和外Sobolev空间以及另一类变指数微分形式空间。

（1）把常指数微分形式Lebesgue空间上同伦算子T的有界性推广到变指数微分形式空间。

（2）结合变指数函数空间上奇异积分算子Calderon—Zygmund的性质，考虑上述三类变指数微分形式空间的自反性、可分性和完备性，以及到变指数微分形式Lebesgue空间的紧嵌入定理等重要性质。

（3）最后，将给出变指数微分形式空间在一类具有变指数增长性条件的非线性系统弱解存在性的证明中的应用。

在第3章中，将引入加权变指数微分形式Lebesgue空间和外Sobolev空间。

（1）将证明可分自反Banach空间，然后结合Kinderlehrer—Stampacchia定理考虑一类微分形式的障碍问题解的存在性和唯一性。 （2）可以得到一类具有变增长性条件的非齐次微分形式A一调和方程Dirichlet问题弱解的存在性和唯一性。

（3）将作为特例，给出非齐次微分形式以及函数的p（x）一调和方程弱解的存在唯一性结论。

在第4章中，将引入完备黎曼流形上变指数微分形式Lebesgue空间和外Sobolev空间。

（1）通过定义完备黎曼流形上变指数微分形式Lebesgue空间上的一个等价范数，再结合经典的泛函分析和实分析理论详细的讨论变指数微分形式

Lebesgue模泛函和变指数微分形式Lebesgue空间上两个等价范数的基本性质。 （2）将在此基础上讨论Lebesgue空间和外Sobolev空间的完备性、可分性以及自反性等。之后，将在变指数p（m），q（m）满足一定条件的情况下，建立的紧嵌入定理。

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