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传球问题的统一解法及染色问题
刘克让
1. 传球问题
很多高中数学复习资料中常见有关传球和染色类型的问题.请看:
例1 甲、乙、丙三人相互传球, 甲首先发球作为第一次传球, 传球5次, 球在甲手中的不同方法有多少种?
分析 此类问题解法很多，有的从传球方向分析；有的从中间持球人分析，但传球次数一多，则分类复杂，不易算对，且方法难以掌握. 本人以遇难则返的思想, 直接用树图求解,不但简单明快, 还能找到一般的解题规律。
解: 由于持球人只能传球给其他2人, 所以:
甲
(传1次)
乙 丙
(传2次)
甲 丙 甲 乙
(传3次)
乙 丙 甲 乙 乙 丙 甲 丙
(传4次)
甲 丙 甲 乙 乙 丙 甲 丙 甲 丙 甲 乙 乙 丙 甲 乙
容易看出, 若要第5次传球到甲手中, 只要乙丙二人传出即可。 所以, 传球5次, 球在甲手中的不同方法有10种。 此种方法有一般性：
例2 a1,a2,
am,m(m3)个人相互传球, a1首先发球作为第一次传球, 传球
n(n3)次, 球在a1手中的不同方法有多少种? 球在甲手中的概率是多少？
分析 1次传球a1传(m1)种，其中a1：0（a1手中无球），传给其余人共：(m1)种；2次传球(m1)种，其中 a1：(m1) 种，传给其余人共：(m1)(m1)种；3次传球(m1)种，其中 a1：(m1)(m1)种 ，传给其余人：(m1)(m1)(m1)种；……
3
2
3
2
2
1
2
n次传球(m1)n种，其中 a1：(m1)n1(m1)n2
次传给其余人的种数）
设S=(m1)
n1
（即n1(1)n(m1)种，
(m1)n2(1)n(m1)
(1)n(m1)[1(1)n1(m1)n1](1)n(m1)(1)2n(m1)n
S==
1m1m(m1)n(1)n(m1)
=.
m
用数学归纳法容易证得：
定理1 m(m3)个人相互传球, 确定某人首先发球作为第一次传球, 传球
(m1)n(1)n(m1)
种；球在甲手中的概n(n3)次, 球在此人手中的不同方法有S
m
率P
S
. n
(m1)
(31)5(1)5(31)
10（种） 由此定理计算例1：m3,n5, S
3
2. 传球问题与染色问题的关系
仍以例1为例. 若把甲、乙、丙三人看成“三种颜色”，5次传球到甲手中看成“染5个区域，相邻区域不同染色，甲选定某色”.，求染法种数. 则两种提法实质是相同的.
例3 现有三种不同颜色供选择染如图5个区域，且相邻区域不同色，求不同的染法种数.
分析 由于1号区有三种染法，由定理1知： 2
3
551 (31)(1)(31)
30. 不同染法种数 S3
34
5
于是我们得到如下的（无心）染色定理:
定理2 有m种不同颜色供选择，染如图n个区域（把图中5改为n,n3,m3），并且相邻区域不同色，则不同染法有 (m1)(1)(m1)种.
例4 甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁三人中任一人，第二次由拿球者传给其他三人中任一人，这样共传了4次，则第4次球仍回到甲的方法有多少种？回到甲的概率是多少？（21；p=
n
n
7
） 27
此类问题还有研究空间，欢迎有兴趣的读者积极探索。
本文来源：https://www.dy1993.cn/oerK.html
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2023-01-31
