正态分布 幂律分布

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正态分布 幂律分布

正态分布与幂律分布是统计学中常见的两种分布形态。在实际应用中，正态分布通常用于描述连续型变量的分布，而幂律分布则更适用于描述离散型变量的分布。本文将从两种分布的定义、性质、应用以及它们之间的联系等方面进行探讨。 一、正态分布

正态分布，又称高斯分布或钟形曲线，是一种连续型概率分布。它的概率密度函数如下：

$$f(x)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$$

其中，$mu$是均值，$sigma$是标准差。正态分布的均值和标准差决定了它的形状，当均值为0，标准差为1时，正态分布的形状最为典型。

正态分布的性质有：

1. 对称性：正态分布的概率密度函数是关于均值$mu$对称的，即$f(x-mu)=f(mu-x)$。

2. 峰度：正态分布的峰度为3，表示其尖峰程度适中。 3. 均值与中位数相等：正态分布的均值等于中位数，即$mu=median$。

4. 68-95-99.7规则：正态分布中，约有68%的数据落在均值$pm$1个标准差的范围内，约有95%的数据落在均值$pm$2个标准差的范围



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内，约有99.7%的数据落在均值$pm$3个标准差的范围内。 正态分布的应用非常广泛，例如在物理学、金融学、生物学等领域中，都可以用正态分布来描述一些连续型变量的分布。此外，在统计学中，许多假设检验和置信区间的计算都基于正态分布。 二、幂律分布

幂律分布，又称长尾分布或者无标度分布，是一种离散型概率分布。它的概率密度函数如下： $$f(x)=Cx^{-alpha}$$

其中，$C$是归一化常数，$alpha$是幂指数。幂指数越小，分布的长尾越长，表示极端事件的发生概率更高。 幂律分布的性质有：

1. 重尾性：幂律分布的长尾表现出极端事件的高发性质，即出现极端事件的概率比正态分布更高。

2. 无均值和方差：幂律分布在无穷大的情况下没有均值和方差。 3. 尺度不变性：幂律分布具有尺度不变性，即改变变量的单位不会影响分布的形态。

幂律分布的应用也非常广泛，例如在网络科学、社会学、经济学等领域中，都可以用幂律分布来描述一些离散型变量的分布。例如，社交网络中的节点度数、城市人口分布、科学文献引用次数等都服从幂律分布。

三、正态分布与幂律分布的联系

正态分布和幂律分布虽然在形态上有很大的差异，但它们之间也



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