【教学随笔】浅谈高中数学三角形面积向量求法

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浅谈三角形面积的向量求法

向量是中学数学中的一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几

何中以得到广泛应用．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形，向量与三角形的交汇问题已成为近几年高考的热点问题．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景，下面笔者用向量的模与数量积表示三角形的面积公式并例谈其应用． 公式 中，若向量，，则． 证明 ．

１．利用公式求三角形的面积． 例1．已知，点，，，求的面积． 解：∵，，∴，，， ∴．

例2．已知中，向量，，求的面积． 解：由已知，得，，∴，， ∴． ∴．

２．利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值．

例3．平面直角坐标系内有点，，，为坐标原点，求面积的最值． 解：．

∵， ∴当时，面积的最小值为；当时，面积的最大值为． ３．利用公式和均值不等式求三角形面积最值． 例4.已知中,，，且，求面积的最大值． 解：∵，∴，，解得，

，∴，当且仅当时，取“=”号．

例5.已知向量，，与之间有关系式，（，且），为坐标原点，求面积的最大值，并求此时与的夹角．

解：将两边平方，得 ∵，∴，又∵，∴，

当且仅当时取“=”号．∴， ∴面积的最大值为，此时，∴，∵，∴．

新课程加强了平面向量的应用，教材中也设计了不少用向量方法研究平面图形性质的问


题．以上，笔者用向量方法求解三角形面积问题，给人以耳目一新的感觉，体现了用向量方法解决问题的优越性．

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