高等代数期末卷及答案

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沈阳农业大学理学院第一学期期末考试

《高等代数》试卷（1）

题号 得分

一

二

三

四

五



六

七

总分



得分



一、填空（共35分，每题5分）

1．设2．当t3. 令

f(x)x4x24x9, 则f(3) 69_ ..

 _2,-2 .时, f(x)x33xt有重因式。

f(x),g(x)是两个多项式, 且f(x3)xg(x3)被x2x1整除, 则

f(1) 0_ , g(1) _0 .

4. 行列式 23 。

4

10311

5. 矩阵的积

21022

1

6.

10

13

。 0134

x12x22x3x40

7. 2x1x22x32x40的一般解为 xx4x3x0

3412

, x3,x4任意取值。 二、（10分）令

f(x),g(x)是两个多项式。求证(f(x),g(x))1当且仅

得分

当(f(x)g(x),f(x)g(x))1。

f(x)g(x))1。（1%）

证：必要性. 设(f(x)g(x),

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令

（1%）则由p(x)|f(x)g(x)知 p(x)为f(x)g(x),f(x)g(x)的不可约公因式，

p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。(1%)

不妨设

p(x)|f(x)，再由p(x)|(f(x)g(x))得p(x)|g(x)。故p(x)|1矛盾。(2%)

充分性. 由(f(x)g(x),f(x)g(x))1知存在多项式u(x),v(x)使

u(x)(f(x)g(x))v(x)f(x)g(x)1,(2%)

从而u(x)f故(f

(x)g(x)(u(x)v(x)f(x))1,(2%)

(x),g(x))1。(1%)

三、(16分)a,b取何值时，线性方程组

有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解：

得分



b21ab21a

a2b1310b110abb32b100b12b2(5%)

01a2b

0b11000b12b2

当a(b

2

1)0时，有唯一解：x1

5b22b2

(4%) ， x2, x3；

a(b1)b+1b1

当b1时，有无穷解：x3

当a

0,x21ax1,x1任意取值；

4

0,b5时，有无穷解：x1k,x213,x33,k任意取值；(3%)

当b1或a0 且 b1且 b5时，无解。(4%) 四、(10分)设a1,a2,...,an都是非零实数，证明 证: 对n用数学归纳法。当n=1时 , , 结论成立(2%); 假设n-1时成立。则n时 =a1a2...an1

得分



anDn1 (4%)

n11现由归纳假设Dn1a1a2...an11有

ai1i

=,(3%)

故由归纳原理结论成立。(1%)

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