应用举例正余弦定理在实际问题中的应用NO课堂强化

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1．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( )

A．d1＞d2 C．d1＞20 m











B．d1＜d2 D．d2＜20 m

2020解析：由tan 50°＝，tan 40°＝及tan 50°＞tan 40°可知，d1＜d2.

d1d2答案：B

2．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )

A．a km a km









a km

D．2a km

解析：∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，∴AB＝3a. 答案：B

3．某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为3 km，那么x的值为( )

C．23或3







B．23

D．3

解析：画出示意图，由余弦定理得 (3)2＝x2＋32－2×x×3×cos 30°， ∴x＝23或x＝3. 答案：C

4．如右图所示，为了测量河的宽度，在一侧岸边选定两点A，B，在另一侧岸边选定点C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为______(精确到1 m)．

解析：设河宽为h m，则h·tan 60°＋h·tan 15°＝120，解得h＝60. 答案：60 m

5．已知A，B两岛相距10 n mile，从A岛看B，C两岛的视角是60°，从B岛看A，C两岛的视角是75°，则B，C两岛的距离为________ n mile.

解析：A，B，C为△ABC的顶点，且A＝60°，B＝75°， ∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋75°)＝45°.


ABsin A10·sin 60°

根据正弦定理得，BC＝＝

sin Csin 45°＝5 6(n mile)． 答案：5 6

6．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．

解：设B为塔正东方向一点，AE为塔，沿南偏西60°行走40 m后到达C处，

即BC＝40，

且∠CAB＝135°，∠ABC＝30°， 如图在△ABC中， AC

BC

sin∠ABC＝sin∠CAB，

即

AC40

sin 30°＝sin 135°， ∴AC＝202.由点A向BC作垂线AG，此时仰角∠AGE最大等于30°. 在△ABC中，∠ACB＝180°－135°－30°＝15° AG＝ACsin15°＝202 sin 15°＝10(3－1)． ∴AE＝AG·tan 30°＝103－33.

即塔高为103－3

3 m.

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