高等数学中的几种思维方法

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高等数学中的几种思维方法

摘要：企在高等数学教学中要有意识的培养学生的创新思维，使学生的各方面的素质得以提高。 本人结合教学实践，总结了高等数学教学中的几种思维方法。 关键词：高等数学；创新思维；思维方法

恩格斯说过：一个民族要想站在科学的最高峰，就一刻也不能没有理论思维，因此数学教学中不仅要传授数学知识，还应该培养学生的创新思维。

因此我结合高等数学的教学，总结一下高等数学学习中的几种思维方法。 一、归纳思维

归纳是人类赖以发现真理的基本的、重要的思维方法。著名数学家高斯曾说：“我的许多发现都是靠归纳取得的。”著名数学家拉普拉斯指出：“在数学里，发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。”

归纳是在通过多种手段（观察、实验、分析等）对许多个别事物的经验认识的基础上，发现其规律，总结出原理或定理。归纳是从观察到一类事物的部分对象具有某一属性，而归纳出该事物都具有这一属性的推理方法。或者说，归纳思维就是要从众多的事物和现象中找出共性和本质的东西的抽象化思维。从数学的发展可以看出，许多新的数学概念、定理、法则的形成，都经历过积累经验的过程，从大量观察、计算然后归纳出其共性和本质的东西。

在高等数学中，许多重要结果的得出，都用到了归纳思维。例如：求某一函数的n阶导数，通常的方法是求出其一阶、二阶（有时还要求出其三阶、四阶）导数，再归纳出 n 阶导数的表达式。二、发散思维

所谓具有发散特性的思维是指信息处理的途径灵活多变，求结果的丰富多样。它是一种开放性的立体思维，即围绕某一问题，沿着不同方向去思考探索，重组眼前的信息和记忆中的信息，产生新的信息并获得解决问题的多种方案。因此，也把发散思维称为求异思维。它是一种重要的创造性思维。用“一题多解”，“一题多变”等方式，发散式地思考问题。 例如：求不定积分

可以用第一类积分换元法，第二类积分换元法，也可以用分部积分法，通过计算这一个题目，不但使用了多种计算不定积分的方法，把不定积分法学活了，更重要的是培养、训练了发散式思考问题的思维方法。这不仅能启发学生多角度多侧面多方法寻找与众不同的解题途径，而且有利于发挥学生的主观能动性，激发学生的学习兴趣。 三、类比思维

类比是根据两个（或多个）对象内部属性、关系的某些方面相似，而推出它们在其他方面也可能相似的推理。 例如在平面解析几何中，两点的距离是： 在空间解析几何中，两点的距离是：

例如在平面解析几何中圆的方程是：(x-a)2+(y-b)2=R2 在空间解析几何中球面的方程是：

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 这些都用到了类比思维。在学习多元函数的微分学和积分学时，应注意与已经学习过的一元函数的微积分相应的概念、理论、方法进行类比。

实践证明：在学习过程中，将新内容与自己已经熟悉的知识进行类比，不但易于接受、理解掌握新知识，更重要的是培养和锻炼了自己的类比思维，有利于开发自己的创造力。


四、逆向思维

逆向思维（又称反向思维）是相对于习惯性思维的另一种思维形式。它的基本特点是从已有的思路的反方向去思考问题。它对解放思想、开阔思路、解决某些难题、开创新的方向，往往能起到积极的作用。 例如，求解微分方程

若将x视为自变量，y视为未知函数，求解此方程就困难，因为它既不是可分离变量的微分方程，也不是齐次微分方程，也不是全微分方程。但是如果利用逆向思维，即反过来将x视为未知函数，y视为自变量，将方程变为，它就是未知函数x的线性微分方程。从而很容易求出其通解 五、数学猜想

数学猜想是指依据某些已知事实和数学知识对未知量及关系所作出的一种似真的推断，它是数学研究的一种常用的科学方法，又是数学发展的一种重要思维形式，它是科学假说在数学中的具体表现。数学猜想作为一种数学潜形态，它常常是数学理论（定理）的萌芽和胚胎，它往往是数学发展到积累了大量资料，需要进行理论整理，探索其理论内部的矛盾规律这一阶段上产生出来的，数学的创造过程与其他知识的创造过程一样。你先得把观察到的结果加以归纳、类比，通过猜想。

例如利用比较判别法，判定正项级数 的敛散性，首先，应对该级数的敛散性作一个猜想：若猜想该级数收敛，就需要找一个（或构造一个）收敛的级数 则猜想正确；若猜想该级数发散，就需要找一个（或构造一个）发散的级数 总之，在数学教学中要培养学生的创新思维，使学生的素质得以提高。

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