苏教版高中数学必修一第课时函数的奇偶性教师(1)

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第十课时 函数的奇偶性（1）

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奇偶性定义

函数奇偶性 奇偶性与函数图像

奇偶性的证明



学习要求

1．了解函数奇偶性的含义；

2．掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；

3．初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质

自学评价

1．偶函数的定义：

如果对于函数yf(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是偶函数．

注意：（１） “任意”、“都有”等关键词；（２）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立； 2．奇函数的定义：

如果对于函数yf(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是奇函数． 3．函数图像与单调性： 奇函数的图像关于原点对称； 偶函数的图像关于y轴对称．

4．函数奇偶性证明的步骤：

（1）考察函数的定义域是否关于“0”对称；（2）计算f(x)的解析式，并考察其与

f(x)的解析式的关系 ；

(3)下结论 .

【精典范例】

一．判断函数的奇偶性：

例1：判断下列函数是否是奇函数或偶函数： 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)x3

x (2)f(x)3x1 (3)f(x)x6

x4

8，x[2,2)

(4)f(x)0 (5)f(x)2x4

3x2



析：函数的奇偶性的判断和证明主要用定义。 【解】(1) 函数f(x)x3

x的定义域为R，关于原点对称，

且f(x)(x)3

(x)[x3x]f(x)，所以该函数是奇函数。

(2)函数f(x)3x1的定义域为R，关于原点对称，

f(x)3(x)13x1f(x)

且f(x)f(x)，所以该函数既不是奇函数也

不是偶函数，即是非奇非偶函数。

(3) 函数f(x)x6

x4

8，x[2,2)的定义域为[2,2)不关于原点对称，故该函数是非

奇非偶函数。

(4)函数f(x)0的定义域为R，关于原点对称，f(x)0f(x)f(x)，所以该函数既是奇函数又是偶函数。

(5) 函数f(x)2x4

3x2

的定义域为R，关于原点对称，

f(

x)4

2x

2

(，所x)以该函数是偶函数。

二．根据函数奇偶性定义求一些特殊的函数值： 例2：已知函数yf(x)是定义域为R的奇函数，求f(0)的值．



【解】

∵yf(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(x)f(x)对任意实数x都成立，

把x0代入f(x)f(x)得

f(0)f(0)，

∴f(0)0．

3x(


三．已知函数的奇偶性求参数值： 例3：已知函数

f(x)(m2)x2(m1)x3是偶函数，求实数m的值．

【解】∵f(x)(m2)x2

(m1)x3是偶函数，∴f(x)f(x)恒成立，

即

(m2)(x)2(m1)(x)3(m2)x2(m1)x3恒成立，

∴2(m1)x0恒成立，∴m10，即m1．

追踪训练一

1. 给定四个函数yx3



3

x；

y1x

(x0)；yx3

1；yx21x；其中是奇函数的个数是(B)

(A)１个 (B)２个 (C)３个 (D)４个

2. 如果二次函数yax2

(b3)xc(a0)是偶函数，则b ３． 3. 判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)(x1)(1x)2

1x2

（2）f(x)1x2

2|x2|



（3）f(x)1x2x21 解：(1)函数f(x)(x1)

(1x)

2

1x2

的定义

域为(1,1)，关于原点对称，

f(x)(x1)

(1x)2

1x2

(x1)

1x

1x2

1x

对于定义域中的任意一个x，

f(x)1(x)21x2f(x)

所以该函数是偶函数；

(2)函数f(x)1x2

2|x2|

的定义域



1x20

听课随笔

2|0

得x[1,0)(0,1]关于原点对称，此2|x(x)1x22|x2|1x21x2

时f2(x2)

x

对于定义域中的任意一个x，

f(x)1(x)21x2

(x)x

f(x)

所以该函数是奇函数；

(3) 函数f(x)1x2x21的定义域为

{1,1}关于原点对称，此时

f(x)0,x{1,1}，所以该函数既是奇函数又是偶函数。

【选修延伸】

构造函数的奇偶性求函数值：

例３: 已知函数f(x)x5ax3

bx8若f(2)10，求f(2)的值。

析：该函数解析式中含有两个参数，只有一个等式，故一般不能求得a,b的值，而两个自变量互为相反数，我们应该从这儿着手解决问题。 【解】

方法一： 由题意得

f(2)(2)5a(2)3b(2)8① f(2)25a23b28 ②

①＋②得f(2)f(2)16 ∵f(2)10 ∴f(2)26

方法二： 构造函数g(x)f(x)8，

则g(x)x5ax3

bx一定是奇函数 又∵f(2)10，∴ g(2)18 因此g(2)18 所以f(2)818，即

f(2)26．



说明：

１．如果函数yf(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数yf(x)具有奇偶性；

根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；

２．奇、偶函数的定义域关于“0”对称．如果

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