数学分析期末复习

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第



200 —200 学年度第

3 学期期末试卷

《数学分析》



系别专业_________班级_________学号__________姓名_____________



题号

一 二 三 四 总分 试得分











卷

装一、单项选择题（15分）

订2

axby)，则2线

1、设zsin(z

xy

=（ ）.

A. 2a2cos2(axby); B 2abcos2(axby).

C. 2b2

cos2(axby); D. 2absin2(axby)

2、在下列无穷积分中，收敛的是（ ）.

A. dx

lnxdx(lnx)2

dxdxex(lnx)2

; B. ex; C. ex; D. exlnx 3、若数集E{11

n

|n1,2,}，则E的上确界是（ ）.

A. 1; B. 2; C. 3; D. 4.

4、设D是由x轴、y轴与直线x+y=1围成的三角形区域，则(xy)dxdy等于

D

试（ ）.

卷A．1装4； B. 16; C. 13; D. 12

.

2订 5、给定区域D{(x,y)|x2ya2,a0}，则c

xdyydx ( ).

线

A. a; B. a2; C. 2a2; D.2a. 二、填空题（15分）

1、设zxyx3, 则dz .

2、三重积分dxdydz .其中V为半球体x2y2z2a2,z0.

V

3、改变二重积分Iedx

lnx

1

0

f(x,y)dy的积分次序, 则I= .

4、将Ib

dxx

a

a

f(y)dy化为一次定积分, 则I= .

5、设L是任意一条有向闭曲线, 则

L

2xydxx2

dy= . 三、计算题（60分）

1、设zz(x,y)是由方程x2y2xyz20确定，求

z

x

、zy. 2、判别反常积分的的敛散性：（1）cosx21

1xx1

dx；（2）1xlnxdx.

3、求二重积分x2

2dxdy的值, 其中D是由直线x=2、y=x与双曲线xy=1所围成.

D

y 4、求三重积分1

2dxdydz的值.其中V由x2y2z2与z=1所围成. V

1xy2

5、计算L

xdyydx.其中L: (1)沿抛物线y2x2, (2)沿直线y=2x, (3)沿折线OAB.

均从o(0,0)到B(1,2).如右图所示.y

B(1,2)



四、证明题（20分）

O A(1,0) x

1、证明：f(xy)dxdyln221

f(u)du,其中D由xy1,xy2,yx,y4x所围成.

D

2、证明：表达式：(exyxyexy)dxx2exydy是某一函数的全微分,并求此函数.


第一套

200 —200 学年度第3学期期末考试试题

《数学分析》 答案及评分准标

一、单项选择题：（每小题3分，计15分）

题号 1 2 3 4 5 答案

B

A

B

C

C



二、填空题：（每小题3分，计15分） 题号 1

2

3 4 5 答案

(y3x2)dxxdy

2e

3

a3 

1

0

dye

y

f(x,y)dx



b

a

(by)f(y)dy

0



三、计算题：（每题10分，计50分）

1、解：将方程程两边关于x,y分别求导得： 3yxz22xyzz'y0

2xyz2

2xyzz'

x0 ……………………………………7分

2xyz22

于是：z'x

2xyz与z'3yxz

y2xyz

……………………10分 2、解：（1）x[1,)，有|

cosxxx1|1xx1

1

3 ………………3分 x2

而当3

12时，无穷积分13dx收敛.所以x2

cosx1xx1dx收敛. ……5分 （2）x=1是被积函数1

xlnx

的瑕点 ……………………………………1分

有2dx2dx21xlnxlim01xlnxlimln0

lnx|1 …………………………3分 lim0

{lnln2lnln(1.所以)}2dx

1xlnx发散. …………5分

3、解：先对y后对x积分，y与x的变化范围D：1

x

yx,1x2 …4分

于是：

x2y2dxdy21dxxx2

12dyxy

21x2(1y)|x23

91dxD

x1(xx)dx=4.…10分 4、.解：设柱面坐标变换：xrcos,yrsin,zz；则体V变换为体V'：

02,0r1r,z. 1 …………………………………4分

以z,r,顺序积分，有1dxdydz2d1dr1r

dz v

1x2y200r1r221

r(1r)11r2

01r2dr2(r

01r2dr01r2dr)

2(12ln(1r2)rarctanr)|110

2(2

ln21arctan1) ……………10分 5、解：（1）当沿抛物线y2x2时，dy4xdx，0≤x≤1 ，有



1L

xdyydx(4x22x2)dx1

0

0

6x2dx2x3|102 ……………4分

（2）当沿直线y=2x时， dy2dx,0x1，有 

11

L

xdyydx0

(2xdx2xdx)0

4xdx2 . ………………3分

（3）当沿折线OAB时，在OA上：dy=0，在AB上：dx=0，有





L

(xdyydx)xdyydxxdyydx2

OA

AB

0

1dy2 ………… 3分 四、证明题：（20分）

1、证明:设变换xyu,

y

x

v.则此变换将区域D一一变换为区域D': 1u2,1v. 4 …………………………………………4分

而：(x,y)(u,v)1(u,v)1yx1

2v. ………………………………6分 (x,y)y1

x2x

于是：f(xy)dxdyf(u)|

(x,y)|dudv1D2

f(u)41dvln22f(u)du D'

(u,v)21

1v1 ………………………………10分

2、证明：由于 Pexyxyexy,Qx2exy，Py2xexyx2yexyQy

.所以表达式(exyxyexy)dxx2exydy可以是某一函数u(x,y)的全微分.……………4分 因此，曲线积分与路线无关.取(x0,y0)(0,0),有

u(x,y)xdxy

0

0

x2exydyCxxexyxCxexyC.……………10分

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