群论证明费马小定理

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与[k]的有关的阶的思想方法

陈伟 2012212529 数学与应用数学

[摘要]：本文论述了集合中的阶的应用，交换群中的阶与费马小定理之间的联系给我的启发性思考。

[关键词]：群；阶；等价类；简化剩余系

数学是一道永无止境的阶梯，引领人不断往上爬，越到上面看到的问题就越清晰。“阶”这个概念我是在高中奥数竞赛书上看到的，“集合的阶”指的是集合的元素个数，举个例子：n个元素构成的集合，它的阶就是n。这个定义似乎太简单，常常也只是应用于这个简单的摩尔定理公式：



A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C)；A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C)

集合的并和交也常常跟元素的个数相互关联。但对于数学而言，这远远是不够的，数学的发展就是为了能覆盖一切。于是在集合里便有了补集的概念，又根据推广又产生了容斥原理和逐步淘汰原理。这两个原理本质上是一致的，我也常常这样记忆“补的交=并的补，补的并=交的补”。⑴



我本以为有关阶的思想已经走到尽头，可实际上在大学的一门叫做《抽象代数》的课程中我再次学到了阶的思想。这便需要从集合的划分介绍开来，所谓集合的划分就是把一个集合化成若干个两两不交的子集，将这些子集叫做等价类，等价类的并集构成全集，同属一个等价类的元素之间的关系构成一个等价关系。于是每一个等价类可以表示成[k]，其中k是该等价类的任何一个元素，从中选出的这个k常常称之为代表元。在定义了子群和左右陪集的概念之后，根据拉格朗日定理，集合的阶又可以这样表示：



|A|=|A:H|*|H|,（H≤A);

和指数公式

|A:H|=|A:K|*|K:H|（H ≤K ≤A)；

在定义了轮换和循环子群之后便出现了元素的阶。所谓元素的阶就是指元素a所生成的循环子群元素的个数，记为||，其实这也是这个元素轮换||次之后再回到本身，每个循环子群的元素轮换||次都会回到本身。例如n次单位根构成的集合



={1,a,...,a^(n-1)};

就构成这样一个群，其中每一个单位根n次幂之后都等于1.每个元素轮换n次也回到本身。元素1的阶为1，其他元素的阶均是n。根据拉格朗日定理也可以知道，若r为素数，按照元素的阶划分的集合种类也只能是1和r。只不过确定的等价类为{1}和{a,...a^(n-1)}。下面考虑数论里面的知识，根据公式

(d)=r;

dr


若r为素数的时候这时候d/r的数只有d=1和r。所以根据(1)=1可以推出(r)=r-1这就是r的简化剩余类的个数。根据群的定义，这些简化剩余类在乘法下构成群

Z={[1]r,[2]r...[r-1]}; 因为群Z的阶为

(r)=r-1，

由拉格朗日定理，对任意一个与r互质的整数a有 a^(r-1) ≡1(mod r); 这就是费马小定理，这个定理曾经难倒过许多的数学家，而我现在的数学水平都能轻易间描述，可见数学思想对人的启发是如此的意义非凡！

[参考文献]:樊恽 刘宏伟 《抽象代数》-北京：科学出版社，2008

[注释]：⑴补的交=并的补，补的并=交的补”指的是n个集合先各自求补级再求交集等于这n个集合的并集再求补集；n个集合的补集的并集等于这n个集合的交集的补集。

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