对错位相减法的重新认识

【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《对错位相减法的重新认识》，欢迎阅读！

对“错位相减法”的重新认识

中山市实验中学 王美华

关于数列的求和，从最简单的定义法，分组法到复杂的错位相减法，裂项相消法，都是日常教学中的基本方法.

近十年的教学一直是按照这样的步骤和方法进行.但在今年的这一届学生中有学生对错位相减法提出新的建议.那是一张很平常的练习题，里面有一个填

n

空题,是关于一个通项是等差数列乘以等比数列的求和即ann.按照平常思维

2

就按照错位相减法去解决.但因为当天讲了关于裂项相消法的专题，“分式结构”

n

引起了他的思考.于是，他尝试也去将n分成两项，他成功了.

2

但因为怕这是一个偶然，于是把常见的错位相减的题目用两种方法一起做进行比较.发现这是一个通法，即所有的错位相减法都可以转化为裂项相消法.下面举两个具体的例子说明用“裂项相消法”去取代“错位相减法”的妙用.

n

1.对于公比q(0,1)，分式结构.如ann，求sna1a2…+an.

2（1）使用错位相减法：sna1a2…+an 即

12n1n

2…+n1n ① 222211n1n

sn 2…+ n n1 ② 2222

1111n

①- ②：sn+ 2…+ n n1

22222

n2111n

所以sn1+ 2…+ n1 n=2n

22222sn

（2）使用裂项相消法：sna1a2…+an

nnn1n2

a出发，=n1n nnn

2222

nk(n1)bknb

n， 这个裂项的结果由待定系数而得到，即令n=

22n12

右式通分后与左式对比得到：nknb2k

从通项an

1k

故有：0b2k， k1

b2


nn1n2

n， =

2n2n12

n1n22334

（n1n）那么sna1a2…+an=(01)(12)…+ 222222

n2

=2n

2

所以an

2．对于公比q(1,)，整式结构.如ann3n，求sna1a2…+an （1）使用错位相减法：sna1a2…+an 即

sn13232…+(n1)3n1n3n ① 3sn 132233…+ (n1)3nn3n1 ② ① -②：2sn3+ 32…+ 3n n3n1 所以sn

32n1n13 44

（2）使用裂项相消法：sna1a2…+an

1113

从通项ann3n出发，ann3n=(n)3n1(n)3n

2424

这个裂项的结果也是由待定系数而得到，即令n3n=[k(n1)b]3n1(knb)3n，

右式通分后与左式对比得到：n2kn2b3k

12k

故有：02b3k，

1k2 b34

1113

所以ann3n=(n)3n1(n)3n，

2424

11132123

那么sna1a2…an1+an=()32()31()33()32…+

24242424

11131113

[(n1)]3n[(n1)]3n1+(n)3n1(n)3n 24242424

本文来源：https://www.dy1993.cn/QkHK.html