(完整版)高数知识点总结

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(完满版)高数知识点总结



高数重点知识总结



1、基本初等函数： 反函数 (y=arctanx)，对数函数 (y=lnx) ，幂函数 (y=x) ，指数函数 ( y ax )，



三角函数 (y=sinx) ，常数函数 (y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无量小：高阶 +低阶 =低阶





比方： lim





x2

0

x lim x 1



1

x 0





x













4、两个重要极限： (1)lim





sin x

x



lim





x

x

x





















1







(2) lim 1 x x



e lim 1













x

0





x

0



x

1 x

x x0



e





















1



x



x0

经验公式：当 x x0 , f ( x)





3x x

0, g( x)





， lim 1





f ( x) g ( x) e





lim f ( x) g (x)































比方： lim 1 3x x

x 0

ex 0







e 3







y | x |连续但不可以

5、可导必然连续，连续未必可导。比方： 6、导数的定义： lim





导。



f (x







x) f ( x)

x





f '( x)





lim f (x)

x

x0

x









x 0





x0

f (x0 )





f ' x0











7、复合函数求导： df g( x)





f ' g( x) ? g'( x)











































dx











1



1 2 x

x

比方： y







x



x , y'





2 x 1 4 x2

x x





















2 x





8、隐函数求导： (1)直接求导法； (2)方程两边同时微分，再求出





dy/dx





x2 y2 1





比方： 解：法 (1), 左右两边同时求导 , 2x 2 yy' 0





y'



x y x y











法( 2), 左右两边同时微分 ,2xdx 2 ydy





















dy dx dy / dt

dx / dt



9、由参数方程所确定的函数求导： 若

















y

g(t) ，则 dy h(t)



g '(t)

h'(t)



，其二阶导数：



x

dx





d2 y dx2



d dy / dx

dx



d (dy / dx)

dt

dx / dt



d g' (t ) / h'(t )

dt

h' (t )

x) f ( x0 )









10、微分的近似计算： f ( x0 x ? f '( x0 ) 比方：计算 sin 31


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11、函数中止点的种类： (1) 第一类：可去中止点和跳跃中止点；比方：



















y sin x （ x=0

x

是函数可去中止点） ， y sgn(x) （x=0 是函数的跳跃中止点）

(2) 第二类：振荡中止点

和无量中止点；比方：









（x=0 是函数的振荡中止点） ， y f ( x) sin

x





1 1

（x=0 是函

x





数的无量中止点） 12、渐近线： 水平渐近线： y

















lim f (x)

x

c



铅直渐近线： 若，lim f ( x)



x a

，则 x a是铅直渐近线 .









斜渐近线： 设斜渐近线为 y





ax b, 即求 a lim





f ( x)

x

, b lim f ( x)

x





ax

















x







比方：求函数 y





x

3

xx2

2

x 1

1

的渐近线













13、驻点：令函数 y=f(x) ，若 f'(x0)=0 ，称 x0 是驻点。





14、极值点：令函数 y=f(x) ，给定 x0 的一个小邻域 u(x0,δ ),对于任意 x∈u(x0, δ)，都

有 f(x) ≥f(x0) ，称 x0 是 f(x) 的极小值点；否则， 称 x0 是 f(x) 的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。

15、拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。 16、拐点的判判定理：令函数 17、极值点的必要条件：令函数 18、改变单调性的点：

y=f(x) ，若 f"(x0)=0 ，且 x0 ； x>x0 时， f"(x)<0 y=f(x) ，在点 x0 处可导，且 x0 是极值点，则

f'(x0)=0 。

或 x；x>x0 时， f"(x)>0 ，称点 (x0，f(x0)) 为 f(x) 的拐点。

f ' (x0 ) 0 ， f ' (x0 ) 不存在，中止点（换句话说，极值点可能是



驻点，也可能是不可以导点）



19、改变凹凸性的点：



f " ( x0 ) 0 ， f '' ( x0 ) 不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数

等于零的点，也可能是二阶导数不存在的点）

20、可导函数 f(x) 的极值点必然是驻点，但函数的驻点不用然是极值点。 21、中值定理：

(1)罗尔定理： f ( x) 在 [a,b]上连续， (a,b)内可导，则最少存在一点

，使得 f '( ) 0

，使得



(2)拉格朗日中值定理： f (x) 在[a,b] 上连续， (a,b)内可导，则最少存在一点

f (b) f (a) (b a) f ' ( )







b

(3) 积 分 中 值 定 理 ： f (x) 在 区 间 [a,b] 上 可 积 ， 至 少 存 在 一 点 ， 使 得

f ( x)dx (b a) f ( )

a


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22、常用的等价无量小代换：



x ~ sin x ~ arcsinx ~ arctanx ~ tan x ~ ex 1 ~ 2( 1 x 1) ~ ln(1 x)

1 cosx ~ x2

2



1

tan x sin x ~ x, x sin x ~ x , tan x x ~ x3

2 6 3

x ， 解：ln y







1

3

1

3

1











23、对数求导法：比方， y















x

x ln x

1



y' ln x 1



y' xx ln x 1





y

24、洛 必 达 法 则 ： 适 用 于 “ ” 型 ，“















0

” 型 ，“ 0 ?







” 型 等 。 当





0 0 /



x lim

xx

0

x0 , f (x) f (x)



0 / , g (x) f '( x)





， f ' ( x), g' (x) 皆 存 在 ， 且 g '( x)





0 ， 则

，







lim

xx

0

















例









如





g(x)

ex

lim





g' ( x)

sin x 1 0







lim

ex cosx 0 2x











lim

ex









sin x 1 2

x 1



x 0



x2









0 x 0







0 x 0









25、无量大：高阶 +低阶 =高阶 比方， lim

















x

2x 3 2x 5





2

2



3



lim

x

x



2



2 x





3



2x 5

4







26、不定积分的求法

(1)公式法

(2)第一类换元法（凑微分法）

(3)第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元：

1)三角换元：

a2 x2 ，可令

2)当有理分式函





x asin t ； x2 a2 ，可令 x a tant ； x2 a2 ，可令 x a sect

x

1 t



数中分母的阶较高时，常采用倒代换





















27、分部积分法：

udv uv



vdu ，采用 u 的规则“反对幂指三” ，剩下的作 v。分部

e

x

积分出现循环形式的情况，比方：







xdx

3

xdx











cos , sec

本文来源：https://www.dy1993.cn/N54.html