高等数学中的美

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高数课程论文



高等数学中的美

PB07210244 肖阳辉

1、 微分和积分的对立统一

恩格斯作为人类导师，曾对各门学科分支都进行过深刻的研究。他在他的《自然辩证法》一书中说了这么一段话：

“如果一杯水的最上面一层分子蒸发了，那么水层的高度x就减少了dx，这样一层分子又一层分子地继续蒸发，事实上就是一个连续不断的微分。如果热的水蒸气在一个容器中由于压力和冷却又凝结成水，而且分子又一层一层地积累起来，直到容器满了为止，那么这就真正进行了一种积分。”

这段话用生活现象浅显却精辟地指出了微分和积分是一对矛盾，对立统一而又互相转化。这道理很简单，却又很深刻。事物内部的矛盾着的两方面，因为一定的条件而各向着和自己相反的方向转化了去，向着它的对立方面所处的地位转化了去。我们在学习的同时，如能从这些角度去体会些数学哲学的意味，去感悟些对立而统一之美感，对提升数学素养、把握高等数学之精髓是很有裨益的。

从数学史的发展来看，微分和积分的建立也是先分立而后由于生产需要得到统一的。然而两者并没有因为走到一块而失去了独立存在的意义，我们现在依然要分别深入地研究微分学与积分学，去发掘它们更深层次的应用和联系。正如中国古语所说的：“分久必合”，在微积分发展的道路上，先是牛顿-莱布尼茨公式统一了单变量函数的微分学和积分学，后是格林公式、高斯公式和斯托克斯公式统一了多变量函数的微分学和积分学，外微分形式的出现，使得这一统一更加简洁、一般化。或许,当初外微分的出现就是为了实现微积分的这样一种完满的统一?

可见, 事物内部的矛盾着的两方面，由于相互的对立和统一,能够不断地促进事物本身的发展。这是数学的美丽,也是辩证法的美丽。



2、 傅立叶分析的和谐之美

简洁、优美的科学定理和公式向来为人们所赞赏，牛顿的力学定律、麦克斯韦的电磁理论、爱因斯坦的相对论都是这方面的典范。在数学领域里能与之媲美的，我觉得就应该有傅立叶级数和傅立叶变换。她们仿佛璀璨星河里最夺目、排列最有规律的星座，看到了她们似乎就能勘透整个天空的奥秘，悟到了宇宙的真谛。

正弦函数可以称得上是最美丽最和谐的周期函数，正弦函数的图像就是大自然的图像。波光粼粼的海浪、连绵起伏的山峦、蜿蜒爬行的蛇类，哪里没有她们的影子？更因为具备一些独特的性质，正弦函数作为一类有效的数学工具在社会生产中被广泛地运用。而傅立叶——这个法国数学家中的天才所做的就是让更普通、更一般化的函数也能写成正弦函数的和的形式，使得正弦函数的功用得到了淋漓尽致的发挥。

任意函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式。这是多么神奇的发现！而正弦函数又是那么简单和谐、易于深入研究。这好比化学上


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我们把复杂的分子拆分成一个个易于理解的原子来研究一样，问题简化成一些基本模型，西方科学伟大的“分析”一词又一次大显身手。

更奇妙的是，傅立叶变换还具有一些非常优美的特征：1、傅立叶逆变换容易求出，且形式与正变换很类似；2、正弦基函数是微分运算的本征函数，从而线性微分方程的求解可转化成常系数的代数方程的求解，在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；3、傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而可以快速地计算卷积；4、离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出。正是由于上述良好性质，傅立叶变换在组合数学、信号处理、物理学、概率统计、密码学等领域都有着广泛的应用。不少同学的论文里对傅立叶分析的运用都有系统的研究，在这里就不多说了。



3、 无处不在的对称之魅

有人说，数学和音乐是我们这个星球上最深刻、最抽象的两种语言。数学具有着艺术的许多特点。如果说天和地、阴和阳、刚和柔是自然界对立统一的法则，那么数学上的对称与建筑、美术、人体学上的对称一样，是自然界的另外一种和谐的法则。

奇偶函数的对称性、微积分中很多具有轮换性的算式,一方面可以增进我们学习数学的美学感受，另一方面可以帮助我们非常轻巧地解题。解题过程中考虑对称的因素,有时可起到事半功倍的效果。许云鹏同学的《对称性---解题的“宰牛刀”》一文对此有细致的分析，在此暂不赘述。

很多函数图像的完美对称，更是使得数学之美在现实生活中得到了广泛的应用。胡凌汛同学的《美丽的二元函数》一文中,那些函数的建筑模型之所以广泛应用和突显美感的原因,也很大程度上是函数本身的对称之魅力。

对称也许是造物主的杰作,而数学则是人类从造物主那里听来的声音。自然界中的对称都可以用数学对称模型来描述.对称性的无处不在,那是彰显了数学的无处不在,美的无处不在。

参考文献：

1、 恩格斯 《自然辩证法》 人民出版社 1971 2、 罗贯中 《三国演义》 人民文学出版社 1998.5 3、 科大数学教研室 《高等数学导论》第三版 2007.7 4、 许云鹏 《对称性---解题的“宰牛刀”》 宣老师主页 5、 胡凌汛 《美丽的二元函数》 宣老师主页

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