高数各章试题第一章测试卷(答案2)

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四、证明题 （共15分）

1、设fx在0,1上连续且f01，f10验证方程fxx在0,1内有实根。（本题7分）

2

2

F(0)f(0)010

证：令F(x)f(x)x，则F(x)在[0,1]上连续，又，故由零点定理知，存2

F(1)f(1)110



2

在(0,1)，使F()0，即f(x)x2在（0，1）内有实根。

2．已知数列{xn}中的每一项都是正的，且对每个正整数n均有(2xn)xn11， 证明：1）数列{xn} 是单调增加并有上界

2）根据单调有界数列必有极限的准则求limxn (本题8分)

n

证：（1）有界：由(2xn)xn112xn0xn2，所以xn有上界。

xn0

(1xn)211

（2）单调：由(2xn)xn11xn1xn1xnxn0，

2xn2xn2xn

2xn0

所以xn单调上升。

由上述（1）（2），依据单调有界准则知，{xn}必有极限。不妨设limxna，对(2xn)xn11两边

x

取极限，得：(2a)a1a1，即limxn1。

n



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