量子化学与群论习题

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量子化学与群论习题

ˆ为厄米算符. 1. 证明Px

ˆxˆ. ˆxˆP2. 验证Pxx

ˆ和Pˆ可对易. 3. 证明Pxy

4. 试求在一维无限深势阱中运动的电子在基态时的x,Px,x2,Px2,Px,x,xPx.

*

5. 证明在一维深势阱中运动的质点的不同波函数互相正交. (证明nmdx0)6. 函数

(x)2

2a

sin

x

a

3

2a

sin

2xa

是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其

能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值.7. 用变分函数xLx2, 求一维势箱中(0xL,V(x)0;x0或xL,V(x))粒子的基态能级. 8. 假定c1(1c2r)e9. 推导

2

c3r

是氢原子Schrödinger方程的一个解,求出c1,c2,c3,E.



22

x



2



22

y





22

z

在球坐标系和柱坐标系中的表达式.

10. 设Ae能级E.

cr

为氢原子1s态波函数的试探函数,计算归一化常数A, 确定变分参数c及

11. 对一维势箱中的粒子用变分法求解. 在1x1时,V0;其他情况下,V.设

11x,21x,构造试探函数c11c22,求H11,H12,H21,H22,S11,S12,S21,S22以

2

4

及能级E1,E2.

12. 假定氢原子的1s波函数的特解为Ne

r

,用待定系数法求,E1s,N.

13. 一粒子在有一个小势坑的一维盒中运动,V,x0,xL;Vb,0xL/2; “规则的”刚性盒(V,x0,xL;V0,0xL)的V0,L/2xL. 将势坑视为一个

一个微扰, 求出基态的第一级能级.

V V E V0

V=0 } b x=0 xL/2 x =L 0 x

14. 若粒子从左边入射，求上图所示一维阶梯势（EV0）的反射系数和透射系数. 15. 上题这若V03E/4, 计算在x0处被反射的粒子的几率(反射系数为多少). 16. 设G一切不等于零的有理数集合, 证明G对于数的乘法构成一个群.


17. 设G{1,0,1},对于加法是否构成一个群?对于乘法是否构成一个群?为什么? 18. 构造C2V点群的乘法表.

19. 验证点群C4{E,C4,C42,C43}和U{1,1,i,i}及V{,,,}同构. (α为数的乘法, β为动作,↑ 立正, ↓ 向后转, ← 向左转, →向右转) 20. 将下列C3V的可约表示Г分解为不可约表示.

C3V 

E 3

2C3 0

3σV 1

21. 将下列C2V的可约表示Г分解为不可约表示.

C2V 

E 5

C2 -1

σV -3

 V

-1

22. 以CH4分子中的4个氢原子的1s轨道为基, 求该可约表示的特征标表, 并将它分解为不可约表示.

23. 将CH4分子中的4个氢原子的1s轨道组合成为对称性匹配函数.

ˆ(z)ˆ;b):Cˆ(x)Cˆ(y)Cˆ(z);c):ˆ(z). ˆxyiˆyzˆxzC24. 用对称操作的表示矩阵证明a):C22222

25. 求反式二氯乙烯分子中以2个氢原子的1s轨道为基的表示的特征标, 并将其分解为不可约表示.

26. 写出下列点群以(x,y,z)为基的表示矩阵a):C4;b):D2h;c):D4h;d):Td. 27. 氢原子处于基态时, 1s波函数为1s平均值; 3)动能的平均值T.

1

a0

(

1

3

)2e

r/a0

,求1)r平均值r; 2)位能V

e

2

r

的

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