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东北大学
课程名称：高等数学 试卷:A答案
考试形式： 闭卷 试卷：共2页
x 1 /
,
1
x 0,
在x
2、函数f(X)
0 处[B ]
0,
(A)极限不存在
其它•
(B) 连续不可导 (C) 极限存在不连续
(D)可导
授课专业： 管理、电子商务、计工、自动化、材料、环境 3、设x°是f (x)的极值点，贝U [ C ]
装 订 线
内 不
考试日期：2009年12月29日
题号
-一一
-二二
-三
四
总分
得分
阅卷 人
、填空题(每题4分，共24 分) 1、 极限 [厂
n2 2 L
n 1
n
im
n2 n]
__2 -----
x
•厂 e 1 x
2、已知lim
1,则a
x 0
VT^X2
1
x 2t arctant 3
3
、曲线 y 2 3t ln(1 t2)在t
°处的切线方程为__
x y 5
4、已知函数 f(x) (x 1)(x 2)(x
3)，则 f'(x) 0的实根个数为 2
5、 曲线y 3x 的拐点为_(0,0) _ 6、 定积分 .1 x2
(1 si nx)dx
1 '
— 2 —
二、选择题(每题 3分，共21分) 1、极限 lim x
sinx
[ B ]
x 0
(A). 0
(B)
(C)e
(D) e
1
(A) f(X。) 0
(B) f
(x
(C) f (x0)
0
0)不存在
或不存在
(D) f (x1 、、、、
4、函数y x
的单调减区间为[
B ]
(A) (
x
,0
(B) [ 1,0) U (0,1] (C)( ,1]U[1, ) (D) [1,
)
x
p L 1
5 、曲线y xe [ B ]
(A)在( ,2)是凹的，在(2,)是凸的
(B)在( ,2)是凸的，在 (2
,
(C)在(
)是凸的
(D)在(
)是凹的
6、设F(x)为f (x)的一个原函数，则下列正确的是
[
(A) d
f(x)dx F(x)
(B) F (x)dx f (x)
(C) F
(x)dx f(x)
d
(D)
恳
f(x)dx f(x)
x
7、已知
f (x)dx 1，其中 f(x
ce0x1,
)
, 其它•
1
0,
(A) e
(B)
;
(C)
1 三、计算题(39分) 2n 1、(8分)讨论函数f (x)
lix m
x
2n
的连续性，若有间断点，判别其类型
n
°) c(c 0)
)
)是凹的
1 e
(D)
x, x 1,
1 2n x
解： f(x) nim — 2n
0, |x 1, , -------- 4 分 n 1
x x, x 1.
在1 处，lim
x x 1
f(x) lim ( x) 1, x 1
lim f(x) lim x 1,
x 1
x 1
lim f (x) lim f (x) ---------- 6 分
x 1
x 1
所以x 1为第一类跳跃间断点• 在
x 1 处，lim f (x) lim x 1, X 1 x 1
lim f (x) lim( x) 1,
x 1 x 1 lim f (x) lim f (x)
x 1 x 1
所以x 1为第一类跳跃间断点. -------------------- 8 分 xy t
x 2、（7分）求由方程 0所确定的隐函数的导数鱼.
0e dt costd t
dx
xy + x 0 解：对方程
etdt costdt 0左右两边同时对 x求导得
0
0
xy
e (y xy) cosx 0 -------- 5 分
即业 xy ye cosx ---------- 7分 dx xe
xy
3、（ 8分）计算不定积分 arctan^xdx 解：设x t ,则x t2
,即dx 2tdt，从而 ----------------2分
arctan xdx 2 t arctantdt
arctantdt2
2
2
t arctant t d arctant
丄dt t2
1 t2 arctant
1 t2 1 2 2 dt 2 t arctant 1 t t arctant t arcta n t (x 1)arcta n、、
X
x
1
2
2
4、（ 8 分）
, x 0,
o f (x 1)dx，其中 f(x)
1 x
xe ,
x
2
解：设x
t,则dx dt，从而
2
1
0
0
f(x 1)dx 1
f(t)dt 1 f(t)dt
f °te10
^dt (t)dt
t2
dt
1 t2
1
1 t2
2
e arcta nt
5、（ 8分）求常数k的值使得曲线
2
与直线x k, x k 2, y
0所围图形的面积最小。 解：选x为积分变量，变化区间为
k,k 2 ,面积元素dA x
dx,所求面积为
'\2
dx k
要求k使A dA
22 k2 4k 1 ,令坐 0,
取最小值，A k是积分上（下）限函数，故 廿
dk
dk
解得驻点k 1,
因为吐4
dk2
0,则k
内唯一极小值点，即当k
1时,所围成图形的面积
最小.
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2023-03-21
