第一学期数学分析期末考试试题库

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第一学期试题库



一、判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））：

1、设

f(x)在[a,b]上连续，M与m分别是f(x)的最大值和最

c(mcM)，均存在[a,b]，使得

小值，则对于任何数

f()c。

（ ）

2、 2、设f(x),g(x)在

(a,b)内可导，且f(x)g(x)，则

f'(x)g'(x)。

（ ）

3、 3、设

{xn}的极限存在，{yn}的极限不存在，则{xnyn}的极

限未必不存在。

（ ） 4、 4、如

xx0是函数f(x)的一个极点，则f'(x0)0。

（ ）

xcosx(xcosx)'

limlim(1sinx)xxxx'5、对于函数，由于不存在，根据洛xcosx

x必达法制，当x趋于无穷大时，的极限不存在。

（ ）

6、无界数列必发散； （ ） 7、若对>0，函数f在[a,b]上连续，则f在开区间（a,b）内连续； （ ） 8、初等函数在有定义的点是可导的； （ ）

xxx9、f，若函数在点0可导，在点0不可导，则函数f在点0

必（ ）

不

可

导



；

10、设函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，但

f(x)f(b)，


'fx(a,b)则对，有(x)0； （ ）

二、填空题：

1. 1. 设E{x[x]|xR},则supE ,

infE ;

f(5)2,则lim

2. 2. 设

x5

f(x)f(5)



x5 ；

3. 3. 设

sinax,

f(x)

ln(1x)b,

x0,x0

在

x0处可导，则a ，

b 。

lim

4、

(n22)6(2n1)8

(2n21)10

＝ ；

n

5、曲线yxlnx的所有切线中，与直线x2y20垂直的切线是 ；

dy

2

yln(x1x)6、， dx ；

d2y

f(x)2yef(x)7、函数二阶可导，， 则dx ；

x

f(x)e8、把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 ，

2

f(x) ；



三、计算题：

1、计算下列极限：

sinxsinalim

xa（1）xa

2、计算下列导数： （1）f(x)

；（2）

lim(12x)

x0

1

x



x21ln(xx21),求f(x);

xacos3t

求由方程表示的函数的二阶导数3

yasint （2）；

x2y2

21过其上点(x0,y0)2ab 3、求椭圆处的切线方程；

4、将边长为a的正方形铁皮，在其四个角上各切掉一个大小相等的小正方形，


然后折起做成一个无盖的铁盒.问铁盒上切掉多大的小正方形，使得做成的铁盒容积最大？

(x3)2

f(x)

4(x1)的图像. 5、描绘函数

6、计算下列极限：

lim

（1）

7、计算下列导数：（10分） （1） （2）

n

lnxlna

(a0)

xan21n21；xa（2）.

lim

n

y

sinxxcosx

cosxxsinx， 求dy；

x0

f(x0)0, f'(x0)3, 求

lim

f(x02x)

x；

xa(tsint)

t

2处的切线方程； 8、求摆线 ya(1cost)在

tanax

,

f(x)x

x2, 9、设函数

x0

x0在点x0处连续，求a的值；

32

f(x)2x12x4在[1,7]上的最大值与最小值. 10、求函数

四、证明题：

{x}1、设a0，n满足：x00,

证明：2

、

xn1

1a

(xn),2xn

n0,1,2,



xn。{xn}收敛，并求limn.

a1,a2,an

为

实

常

数

，

证

明

：

设

f(x)a1cosxa2cos2x

ancosnx

在(0,)内必有零点。

3、设函数f(x)在区间Ⅰ上满足Lipschitz条件：L>0，x1,x2Ⅰ，

有

f(x1)f(x2)Lx1x2

，证明f在区间Ⅰ上一致连续；

4、设0<a<b，f(x)在[a,b]上可导，在（a,b）内可导，证明(a,b)，使

22'

2f(b)f(a)(ba)f(). 得

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