【教学随笔】三角函数性质在解题中的应用

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三角函数性质在解题中的应用



三角函数是高中数学的重点内容，也是历年高考的重点和热点内容，在高考数学试卷中占有很大的比例，三角函数的性质和图象是三角函数的重要知识点, 三角函数中的许多问题都可以利用三角函数性质巧妙解决.本文举例说明巧用三角函数的一些性质解决一些求值、求参数范围题、求函数解析式等问题。

一、巧用三角函数的有界性求最值

在解题中经常运用三角函数的有界性如：| sin α|≤1，| cosα |≤1来解决问题，如果运用巧妙，可以收到事半功倍的效果。

例1.已知x∈［，］，函数y=cos2x－sinx+b+1的最大值为，试求其最小值. 解：∵y=－2（sinx+）2++b， 又－1≤sinx≤，∴当sinx=－时， ymax=+b=b=－1； 当sinx=时，ymin=－. 简评：本题巧妙地利用三角函数的有界性解决代数式的最值问题。这类题目要求学生具有较强的分析能力和逻辑思维能力。

二、巧用三角函数的奇偶性求参数值

正弦函数、余割函数、正切函数、余切函数是奇函数，余弦函数、正割函数是偶函数；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，适时地运用三角函数的奇偶性解题可简化运算。

例2. 把函数y=cos（x+）的图象向左平移4个单位，所得的函数为偶函数，则的最小值是

A. B. C. D.

剖析：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解.向左平移个单位后的解析式为y=cos（x++），

则cos（－x++）=cos（x++）， cosxcos（+）+sinxsin（+） =cosxcos（+）－sinxsin（+）. ∴sinxsin（+）=0，x∈R. ∴+=kπ.∴=kπ－＞0. ∴k＞.∴k=2.∴=. 答案：B

三、巧用三角函数的单调性比较大小 正弦函数在[－+2kπ，+2kπ]上是单调增函数，在[+2kπ，+2kπ]上是单调减函数；余弦函数在[－π+2kπ， 2kπ]上是单调增函数，在[2kπ， π+2kπ]上是单调减函数；正切函数在（－+kπ，+kπ）上是单调增函数，其中k∈z.利用三角函数的单调性可以求参数范围、比较大小、求（最）值等等。

例3. f（x）=2cos2x+sin2x+a（a为实常数）在区间［0，］上的最小值为－4，那么a的值等于

A.4 B.－6 C.－4 D.－3 解析：f（x）=1+cos2x+sin2x+a =2sin（2x+）+a+1.

∵x∈［0，］，∴2x+∈［，］.


∴f（x）的最小值为2×（－）+a+1=－4. ∴a=－4. 答案：C.

四、巧用三角函数的周期性解题

正弦函数和余弦函数的周期是2π，正切函数、余切函数的周期是π. 三角函数的周期性常和三角函数的图象结合起来考查。

例4. 已知函数f（x）=Asinωx+Bcosωx（A、B、ω是实常数，ω＞0）的最小正周期为2，并当x=时，f（x）max=2.

（1）求f（x）.

（2）在闭区间［，］上是否存在f（x）的对称轴?如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由.

解：（1）f（x）=sinπx+cosπx=2sin（πx+）. （2）令πx+=kπ+，k∈Z. ∴x=k+，≤k+≤. ∴≤k≤.∴k=5.

故在［，］上只有f（x）的一条对称轴x=.

例5．已知函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）. （I）求 （II）计算. 解：（I）

的最大值为2，.

又其图象相邻两对称轴间的距离为2，， .

过点， 又.

（II）解法一：， .

又的周期为4，，

解法二：

又的周期为4，，

点评：本题考查了三角函数的图象,性质,特别是周期性的巧用,技巧性强,简化了运算.

例6.为了使y=sinωx（ω＞0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值，则ω的最小值是

A.98π B. C. D.100π 解析：49×T≤1，即×≤1，∴ω≥. 答案：B.

请你试解：若条件改为在［x0，x0+1］上至少出现50次最大值呢？

在今后的命题趋势中，三角函数的图象和性质这一类基础题目仍是考查的重点内容，而


灵活地利用三角函数的性质解决三角函数与其他知识相结合的综合题目，将会成为高考的热点和重点， 此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，并且要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力。

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