数学悖论与数学发展

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数学悖论与数学发展

悖论是强烈违反我们直觉的问题。尽管从古希腊起至今，悖论一直给人们带来很大乐趣，可是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。在发展现代逻辑学和集合论等数学史上一些巨大进展正是努力解决经典悖论的直接结果。 一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机 1．第一次数学危机的内容

公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数。然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯学习勾股定理时，提出了一个问题：假设正方形边长为 1，并设其对角线长为 d，依勾股定理应有 d2＝12＋12＝2，即 d2＝12＋12＝2，那么 d是多少呢？希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找到，反而找到了两数不可通约性的证明。这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。 2．第一次数学危机的影响

第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发展。首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个新的数类——实数，并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。其次，第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在此时应运而生的。第一次数学危机极大地促进了几何学的发展，使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。 二、贝克莱悖论与第二次数学危机 1．第二次数学危机的内容

公元 17世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，微积分能提示和解释许多自然现象，它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起人们高度的重视。然而，因为微积分才刚刚建立，这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，还不能自圆其说。

对于牛顿对求导过程的论述，哲学家贝克莱发现了其中的问题，他一针见血的指出，在同一问题的讨论中，将所谓的无穷小量有时作为 0，有时又异于 0的做法，不得不让人怀疑。无穷小量究竟是不是 0？无穷小及其分析是否合理？贝克莱悖论的出现危及到了微积分的基础，引起了数学界长达两个多世纪的论战，从而形成了数学发展史中的第二次危机。 2．第二次数学危机的影响

第二次数学危机出现后，经过欧拉、拉格朗日等人的努力，微积分取得了一些进展；从 19世纪开始为彻底解决微积分的基础问题，柯西、外尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作。在解决使无穷小数学化的问题上，出现了罗比达公理，而柯西又采用的ε .δ 方法刻画无穷小，无穷小被极限代替了。后来外尔斯特拉斯又给出了极限的严格定义，建立了极限理论，使微积分建立在极限基础之上。极限的 ε .δ 定义就是用静态的ε .δ 刻画动态极限，用有限量来描述无限性过程，它是从有限到无限的桥梁和路标，它表现了有限与无限的关系，使微积分朝科学化、数学化前进了一大步。极限理论的建立加速了微积分的发展，它不仅在数学上，而且在认识论上也有重大的意义。后来在考查极限理论的基础中，经过代德金、康托尔、海涅、外尔斯特拉斯和巴门赫等人的努力，产生了实数理论；在考查实数理论的基础


时，康托尔又创立了集合论。这样有了极限理论、实数理论和集合论三大理论后，微积分才算建立在比较稳固和完美的基础之上了，进而开辟了下一个世纪的函数论的发展道路。 三、罗素悖论与第三次数学危机 1．第三次数学危机的内容

19世纪 70年代，德国数学家康托尔创立了集合论，为整个数学大厦奠定坚实的基础。1900年，在巴黎召开的国际数学家会议上，法国数学家庞加莱宣布：“我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。”然而，英国数学家罗素 1902年提出了著名的“罗素悖论”：设集合 B是一切不以自身为元素的集合所组成的集合，问：B是否属于 B？若 B属于 B，则 B是 B的元素，于是 B不属于自身，即 B不属于 B；反之，若 B不属于 B，则 B不是 B的元素，于是 B属于自己，即 B属于 B。这样，利用集合的概念，罗素导出了——集合 B不属于 B当且仅当集合 B属于 B时成立的悖论。之后，罗素本人还提出了罗素悖论的通俗版本，即“理发师悖论”。罗素悖论的出现，动摇了数学的基础，震撼了整个数学界，导致了第三次数学危机。 2．第三次数学危机的影响

罗素悖论导致的第三次数学危机，使数学家们面临着极大的困难。值得庆幸的是，产生罗素悖论的根源很快被找到了，原来康托尔提出集合论时对“集合”的概念没有做必要的限制，以至于可以构造“一切集合的集体”这种过大的集合而产生了悖论。

为了从根本上消除集合论中出现的各种悖论，特别是罗素悖论，许多数学家进行了不懈的努力。如以罗素为主要代表的逻辑主义学派，提出了类型论以及后来的曲折理论、限制大小理论、非类理论和分支理论，这些理论都对消除悖论起到了一定的作用；而最重要的是德国数学家策梅罗提出的集合论的公理化，策梅罗认为，适当的公理体系可以限制集合的概念，从逻辑上保证集合的纯粹性，他首次提出了集合论公理系统，后经费兰克尔、冯·诺伊曼等人的补充形成了一个完整的集合论公理体系（ZFC系统），在 ZFC系统中，“集合”和“属于”是两个不加定义的原始概念，另外还有十条公理。ZFC系统的建立，使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论为代表的一系列集合悖论，第三次数学危机也随之销声匿迹了。 四、结 语

数学发展的历史表明每一次危机的消除都会给数学带来许多新内容、新认识，甚至是革命性的变化，使数学体系达到新的和谐，数学理论得到进一步深化和发展。悖论的存在反映了数学概念、原理在一定历史阶段会存在很多矛盾，导致人们的怀疑，产生危机感，然而事物就是在不断产生矛盾和解决矛盾中逐渐发 展完善起来的，旧的矛盾解决了，新的矛盾还会产生，而就是在其过程中，人们才不断积累了新的认识、新的知识，发展了新的理论。数学家对悖论的研究和解决促进了数学的繁荣和发展，数学中悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望。

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