初三数学轮换对称分式问题的求值方法

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轮换对称分式问题的求值方法

张明



所谓轮换对称分式是指如果一个分式中的所有字母按某种次序轮换后，得到的分式与

张希超

111abc

等。轮换对称分式,

abcabbcca

的求值问题，一直是各类竞赛命题的热点之一。由于它的解法灵活，技巧性强，令不少同学望而生畏。现结合竞赛题介绍这类问题的几种常用方法。 一、倒数法

ab1bc1ca1abc

例1. 已知a、b、c为实数，且满足的值。 ,,。求

ab3bc4ca5abbcca

解：分别取已知式的倒数得： 111111

3,4,5。 abbcca以上三式相加，得： 111

6。 abc

abbcca所以6，

abcabc1

所以。

abbcca6



原分式相同，则称这个分式为轮换对称分式。如 例2. 设a

yxzabc

，且xyz0。求的值。 ,b,c

yzzxxya1b1c1

解：对已知等式分别取倒数得：

1yz1zx1xy

， ,,

axbycz

所以

a1xyzb1xyzc1xyz

。 ,,

axbycz

因为xyz0， 所以

yaxbcz

。 ,,

a1xyzb1xyzc1xyz

所以

abc1。 a1b1c1



二、整体处理 例3. 已知

115ba

，求的值。 

ababab

ab

为整体，则问ba

分析：已知等式中有两个未知数，一般不可能分别确定其值。若视


题可获解。

115

， 

abababab所以5。

abba

即115，

abba

所以3。

ab

解：因为

111111

例4. 已知abc0，abc0，求abc的值。

bccaab

解：因为abc0，abc0，

所以abc,bca,cab， 所以原式=

aabbcc bccaab

acbcab

bacbac

  bac3





三、重叠法

例5. 设a、b、c是互不相等的实数，且a

解：因为a

1111

bc，求222的值。 bcaabc

11

b，且a、b、c互不相等， bcbc

所以ab，

bcbc

于是bc。

abcaab

同理：ca。 ,ab

bcca

bccaab

所以a2b2c2abbcca1，

abbcca

1

所以2221。

abc



四、拆项法

例6. 已知a、b、c互不相等，求

2abc2bca2cab

的值。

(ab)(ac)(bc)(ba)(ca)(cb)

解：因为2aaa,2bbb,2ccc，

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