知识延伸：三角形与圆

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三角形的外接圆与内切圆半径的求法

一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形

如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5 求△ABC的外接圆的半径. 解：∵AB＝13，BC＝12，AC＝5， ∴AB2＝BC2＋AC2， ∴∠C＝90°，

∴AB为△ABC的外接圆的直径， ∴△ABC的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形

①已知一角和它的对边

例2如图，在△ABC 中，AB＝10，∠C＝100°， 求△ABC外接圆⊙O的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形. 解：作直径BD，连结AD.

则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90° ∴BD＝

AB

sinD

CA

B

O

C

AD

O

B

＝

10sin80



5sin80

∴△ABC外接圆⊙O的半径为.

注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.

例3如图，已知，在△ABC 中，AB＝10，∠A＝70°，∠B＝50° 求△ABC外接圆⊙O的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD，连结BD.

则∠D＝∠C＝180°－∠CAB－∠BAC＝60°，∠DBA＝90° ∴AD＝

AB

sinD

C

D

A

O

B

＝

10sin60

＝20

3

3



1 / 3




∴△ABC外接圆⊙O的半径为10

3

3

.

②已知两边夹一角

例4如图，已知，在△ABC 中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60° 求△ABC外接圆⊙O的半径.

分析：考虑求出AB，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E. 则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE＝1AC＝1，AE＝

2

C

E

DB

O

A

3

，

BE＝BC－CE＝2，AB＝∴AD＝

AB

sinD

AE2BE221

＝

7



＝

7sin60

＝2

3



321.

∴△ABC外接圆⊙O的半径为1③已知三边

例5如图，已知，在△ABC 中，AC＝13，BC＝14，AB＝15 求△ABC外接圆⊙O的半径.

分析：作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE，利用相似三角形就可以求出直径AD.

解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E. 则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C ∴△ADB∽△ACE ∴AC

AD

AE

AB

C

EA

O

DB



设CE＝x, ∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2 ∴132-x2＝152-(14-x)2 x=5,即CE＝5

∴AE＝12 ∴

1312

AD15

AD＝65

48

∴△ABC外接圆⊙O的半径为65. 二、求三角形的内切圆的半径 1、直角三角形

例6已知：在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c 求△ABC外接圆⊙O的半径.

解：可证四边形ODCE为正方形.设⊙O的半径为r，

2 / 3

A

c

OB

b

E

C

aD

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