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高数重点知识总结
1、基本初等函数：反函数（y=arctanx）,对数函数（y=lnx）,幂函数（y=x）,指数函数（y = ax）,
三角函数（y=sinx），常数函数（y=c）
2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶
例如: lim
x_0
x
2x x
1
sin x
4、两个重要极限：
(1)li叫 1
( 1 \
e
lim f (x)g (x)
(2)[i叫1 xx 二 e lim 1
lim 1 f(x) =ex x0
g(x)
经验公式：当 x— xo, f (x) — 0, g(x)-> ::
lim 3
x
1
「x
o
例如: lim 1 -3x x = ex 0
0
-x\
5、可导必定连续，连续未必可导。例如： y=|x|连续但不可导
f(x)—f(x°)
0
f(X + 心 X)— f (x) £“、
6、导数的定义： lim f '(x) lim
Q x >0
x
x
x
“ 、
f' x0
x—x0
7、复合函数求导：
df
?(x) — g(x)】・g'(x) dx
例如:
y = x . x,y‘
x
2\ x+>lx
x y = 1
2
2
8、隐函数求导：（1）直接求导法；（2）方程两边同时微分，再求出 dy/dx
—
x
例如： 解：法(1),左右两边同时求导，2x • 2yy'= 0 = y'=
y
法(2),左右两边同时微分,2xdx ■ 2ydy=
9、由参数方程所确定的函数求导：若丿
yg（t）
=
- - dx y
，则鱼=以虫=工111，其二阶导数:
、 x = h（t） dx dx/dt h'（t）
d(dy/dx) d £'(t)/h'(t)】
dy _ d dy/dx _ dt _ dt
2
dx
2
dx dx/dt h' (t)
10、微分的近似计算：
f （x0小=x） - f化）=3・f'（怡）例如：计算 sin 31
11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如： y=sinx(x=0
x
是函数可去间断点)，y二sgn(x) (x=0是函数的跳跃间断点)(2)第二类：振荡间断点
和无穷间断点；例如：
f(x)=sin ‘丄i(x=0是函数的振荡间断点)
M丿
!
1 y
x
口弋
(x=0疋函
数的无穷间断点)
12、渐近线:
水平渐近线:
y =lim f (x) =c
铅直渐近线： 若，lim f(x)-：:，则x =a是铅直渐近线. 斜渐近线： 设斜渐近线为 y = ax b,即求 a = lim
,b = lim〔f (x) - ax x
例如：求函数
x x x 1
3
2
的渐近线
13、 驻点：令函数 y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。
14、 极值点：令函数 y=f(x),给定x0的一个小邻域u(x0, S )，对于任意x € u(x0, S )，都 有f(x) > f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；否则，称x0是f(x)的极大值点。极小值点与极 大值点统称极
值点。
15、 拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。
16、 拐点的判定定理：令函数 y=f(x)，若 f"(xO)=O，且 x0 ; x>x0 时，f'(x)<0 或 x; x>x0 时，f"(x)>0，称点(x0, f(x0))为 f(x)的拐点。
17、 极值点的必要条件：令函数 y=f(x)，在点x0处可导，且x0是极值点，则f'(x0)=0。 18、改变单调性的点：
驻点，也可能是不可导点)
f'(x。)=0 , 口灯 不存在，间断点(换句话说，极值点可能是 f"(x0)=0，『'(怡)不存在(换句话说，拐点可能是二阶导数
19、改变凹凸性的点：
等于零的点，也可能是二阶导数不存在的点)
20、 可导函数f(x)的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点 21、 中值定理：
(1)罗尔定理： f (x)在［a,b］上连续，(a,b )内可导，则至少存在一点 ，使得f'( )=0
(2)拉格朗日中值定理：f(x)在［a,b］上连续，(a,b)内可导，贝至少存在一点•，使得
f(b) -f(a) =(b-a)f'()
⑶积分中值定理：f (x)在区间［a,b］上可积，至少存在一点 ,使得
b
f (x)dx =(b - a) f ()
a
本文来源：https://www.dy1993.cn/154.html
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2022-08-09
